Das Lorenz-System

Das Lorenz-System

Seminar uber gew¨hnliche Differentialgleichungen o ¨

Uwe J¨nck und Florian Prill o Februar 2003

Inhaltsangabe

Herleitung: Die Lorenzgleichungen als Idealisierung hydrodynamischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Das Rayleigh-B´nard-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.2 Mathematische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Physikalische Bedeutung der Parameter σ, β, . . . . . . . . . . . . 1.2 Einfache Eigenschaften des Lorenz-Systems . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Globale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Qualitative Aussagen uber die Trajektorien . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.2.3 Numerische Hinweise f¨ r einen seltsamen Attraktor im Lorenzsystem u 1.2.4 Koordinatentransformation im Lorenzsystem . . . . . . . . . . . . . 1.3 Das geometrische Modell des Lorenz-Attraktors nach Guckenheimer, Williams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Definition des Modellflusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Nachweis der Existenz eines Attraktors . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Der Lorenz-Attraktor ist ein seltsamer Attraktor . . . . . . . . . 1.4.1 Tuckers Beweisidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 2 2 3 6 8 8 9 14 15 16 17 21 24 25 30

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Seminar Gew¨hnliche Differentialgleichungen o

Einleitung

Thema der folgenden Arbeit ist das sogenannte Saltzman/Lorenz-System. Urspr¨nglich im Jahr u 1963 als Teil eines physikalischen Modells formuliert, stand dieses System von Differentialgleichungen ¨ wiederholt im Blickpunkt der Offentlichkeit und war gleichzeitig Gegenstand zahlreicher mathematischer Arbeiten bis in die j¨ngste Gegenwart. u Dieser Vortrag versucht einen Bogen zu spannen zwischen den physikalisch-experimentellen Grundlagen, die bereits um das Jahr 1900 von den Wissenschaftlern Rayleigh und B´nard gelegt e wurden, zu den mathematischen Untersuchungen der sechziger Jahre des letzten Jahrhunderts, die von Saltzman und Lorenz durchgef¨hrt wurden, u bis hin zu den moderneren Ans¨tzen, etwa von a dem amerikanischen Mathematiker Guckenheimer. Schließlich m¨chten wir eine Arbeit aus dem Jahr o 1999, The Lorenz attractor exists“, von Warwick ” Tucker vorstellen, in der er den Beweis erbringt, daß der Lorenz-Attraktor ein sog. seltsamer Attraktor ist. Dieses Skript wird im Internet bereitgestellt unter www.tu-harburg.de~sufp

Henri B´nard e (1874-1939)

Lord Rayleigh (1842 – 1919)

Barry Saltzman (1931-2001)

E. N. Lorenz (∗1917)

John Guckenheimer (∗ ∼ 1946)

Warwick Tucker (∗1970)

1.1

1.1.1

Herleitung: Die Lorenzgleichungen als Idealisierung hydrodynamischer Systeme

Das Rayleigh-B´nard-Experiment e

Das Differentialgleichungssystem x1 = −σx1 + σx2 ˙

x 2 = x 1 − x 2 − x 1 x3 ˙ x3 = −βx3 + x1 x2 ˙

(L)

wird als Lorenzsystem bezeichnet, nach dem amerikanischen Meteorologen Edward N. Lorenz 1 , der es 1962 als Idealisierung eines hydrodynamischen Systems entwickelte. Lorenz ging es dabei

1 Lorenz, Edward Norton, amerikanischer Meteorologe, *1917 West Hartford, Connecticut; seit 1946 am Massachusetts Insitute of Technology (MIT) besch¨ftigt; beschrieb in den sechziger Jahren als erster deterministisches a Chaos am Beispiel des Wetters; pr¨gte den Ausdruck Schmetterlingseffekt (der Fl¨ gelschlag eines Schmeta u terlings in China beeinflußt das Wetter in Amerika); erhielt 1991 den renommierten Kyoto-Preis. (Quelle: Lexikon der Physik, Spektrum Akademischer Verlag, 2000)

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um eine Modellierung der ust¨nde in der Erdatmosph¨re zum weck einer Langzeitvorhersage. a a Allerdings betonte Lorenz, daß das von ihm entwickelte System (L) allenfalls f¨r sehr begrenzte u Parameterbereiche von , σ, β realistische Resultate liefert. Bei der Beschreibung von Str¨mungen in Fl¨ssigkeiten und Gasen ist Konvektion ein zentrales o u Ph¨nomen. Unter diesem Begriff versteht man den Transport von Teilchen in einer str¨menden a o Fl¨ssigkeit entgegen stabilisierender Kr¨fte. Die Konvektion ist zu unterscheiden von weiteren u a Transportmechanismen innerhalb der Fl¨ssigkeit wie der Diffusion. Erzwungene Konvektion u liegt vor, wenn der Str¨mungsvorgang durch außeren Antrieb, etwa dem Einsatz von Pumpen, o ¨ erfolgt. Im Gegensatz dazu liegt nat¨ rliche Konvektion vor, wenn der Antrieb der Str¨mung u o Dichtegradienten, etwa aufgrund von Temperatur- oder Konzentrationsgradienten, sind. Konvektionsvorg¨nge k¨nnen in sog. Konvektionszellen studiert werden, das sind bienenwabena o artige Bereiche der Fl¨ssigkeit, in denen die Konvektionsstr¨mungen in sich geschlossen sind. u o Es ergibt sich, daß die Konvektion stark mit dem Durchmesser der Konvektionszelle anw¨chst. a Aus diesem Grund sind W¨rmed¨mmstoffe por¨s, um den konvektiven Transport von W¨rme a a o a m¨glichst gering zu halten2 . o ur Herleitung der Lorenzgleichung als Beschreibung von Konvektionsstr¨mungen sei das folo e gende Modell betrachtet, das um die Jahrhundertwende von dem franz¨sischen Physiker B´nard o experimentell untersucht und 1916 durch den britischen Nobelpreistr¨ger Lord Rayleigh theoa retisch beschrieben wurde:

wischen zwei Platten mit Abstand h befinde sich ein viskoses inkompressibles Fluid (≈ “Fl¨ssigu ¯ keit“). W¨hrend kleine Temperaturdifferenzen T zwischen der Ober- und Unterseite der Schicht a ¨ noch durch W¨rmeleitung ausgeglichen werden k¨nnen, setzt bei Uberschreiten einer kritischen a o Temperaturdifferenz eine Fl¨ssigkeitsbewegung ein und es kommt zur Ausbildung von Konveku tionsrollen, durch die ein effizienterer W¨rmetransport realisiert wird. Dabei steigen von unten a erw¨rmte Fl¨ssigkeitselemente auf Grund ihrer geringeren Dichte auf und k¨ltere Fl¨ssigkeitsa u a u volumina sinken ab.

1.1.2

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Mathematische Beschreibung

(x, t), x ∈ R3 p(x, t), T (x, t), v(x, t)

ur mathematischen Beschreibung faßt man nun das Dichtefeld: den Druck: die Temperatur: die Geschwindigkeitsverteilung:

als kontinuierliche Gr¨ßen auf. o weitens werden die physikalischen Grundgleichungen verwendet, die sich aus den drei Erhaltungss¨tzen Massenerhaltung, Impulserhaltung und Energieerhaltung ergeben: a – Massenerhaltung: Kontinuit¨tsgleichung: a ∂ + div( v) = 0 ∂t

2 Quelle:

Lexikon der Physik, Spektrum Akademischer Verlag, 2000