Strömungsmechanik

• Titel: Strömungsmechanik
• Organisation: TU BS
• Seitenzahl: 129

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Inhalt

• Skript zur Vorlesung
• Prof DrIng R Radespiel
• Aufgaben der Stromungsmechanik
• Festkörpermechanik Statik Dynamik Kinetik
• Gleichgewicht der Kräfte Zusammenhang Kräfte Bewegung
• Plastomechanik Feste Körper deformierbar
• Anwendungsgebiete der Stromungsmechanik
• Eigenschaften von Fluiden
• Denition und Kennzeichen
• Das betrachtete Fluid sei ein Kontinuum Dies bedeutet
• Luft L kgms L m s
• y U y l Molekülbewegung in Richtungen
• der Molekle in x Richtung u
• Gase Sutherland Formel als Ergebnis einer verfeinerten Gastheorie
• Bingham Fluid Pseudoplastisches Fluid
• BinghamFluide Pseudoplastische Fluide Dilatante Fluide NichtNewtonsche Fluide
•  STATIK DER FLUIDE
• Statik der Fluide
• STATIK DER FLUIDE
• a Druck Impulsnderung Zeit Flche a p
• i k mn u u t x
• ds dFy dz dA y
• S dG dFz y dy dA z
• py p Krftegleichgewicht in z Richtung a
• analog px p
• dFz dF sin g
• dx dy dz Gewicht des Fluidelements
• Kommunizierende Rhren o
• Daraus folgt oder
• h h h h
• h h h h h h
• F p A h p A
• Mit p folgt F
• A F g h A A
• pK p g h
• bar bar at at
• Bezugsebene bei p p
• p p g h
• p Bezugsebene A bei p p
• Fllung mit Wasser u W Dann ist p
• kg h mW S m
• Fllung mit Quecksilber u Q Dann ist p
• Betrag der Druckkraft
• Iz Iz yS A
• und y y yS Beweis Iz
• Das zweite Integral verschwindet weil
• liefert die denitionsgemß yS ist Damit folgt a
• y dA die Schwerpunktskoordinate yS
• Damit wird zD
• l F g cos b l
• g l b cos
• Druckkraft auf gekrummte Wnde a
• Voraussetzung Einfach gekrmmte Wand DProblem u
• Projektion in die x z Ebene
• Projektion in die y z Ebene
• dFx py p dA cos py p dAx
• Betrag von Fx
• Fx g ySx Ax
• y Dx y Sx e
• Vertikalkomponente Fy dFy dF sin dAy dA sin
• unabhngig von a
• Betrag von Fy
• Wirkungslinie von Fy aus Momentengleichgewicht um die zAchse
•  und es folgt Fy xD x xS dFy
• x xS g y dAy
• x g y d F y S
• R F M F x e F x
• Gegeben g R b ZE Gesucht Wasserlast
• b R R RbR
• Fx Fy g R b
• Dann ist e d
• Vollstndig eingetauchter Krper mit beliebiger Gestalt a o
• x g VF y VK Fy
• Krperoberche Unterer Teil o a Oberer Teil
• Fy Fy Fy g VF V g V
• AH Fy AH g VF
•  Satz von Archimedes
• Schwimmen von Korpern
• G O A Schwimmfläche b
• Somit ist die Eintauchtiefe
• p dp z p T dA p dz
• fr alle u Zustandsnderungen a
• T K absolute Temperatur R spezielle Gaskonstante
• Isotherme Atmosphre a
• In diesem Fall gilt T T const Damit
• Eingesetzt R T z g Abkrzung u
• dp R T pz ln p g p
• R T p g g
• alles Bodenwerte H ist eine Lnge a
• const H H pz p
• p m g N m gemessen im Flug
• p ln m p
• Isentrope Atmosphre a
• Isentropenexponent fr Luft u
• p z p dp g p
• p p g p p p g
• z pz p H Dichteverlauf pz z p
• p kg m
• Isentrope Atmosphäre Polytrope Atmosphäre
• Isotherme Atmosphäre Polytrope Atmosphäre Isentrope Atmosphäre
•  DYNAMIK DER FLUIDE
• Dynamik der Fluide
• Grßen allgemeine Abkrzung f o u
• r r rt r t t t t
• V lim V lim d r b dt
• dr rt t rt t t dt
• DYNAMIK DER FLUIDE
• Nun ist aber also
• manchmal auch mit
• df Df dt Dt
• Stromlinien Betrachtung fr beliebigen Zeitpunkt t u
• Die Geschwindigkeitsvektoren sind tangential zu den Stromlinien
• Teilchenbahnen im Raum
• c Stromche a
• Kontinuittsgleichung a Stromfaden von s bis s ds
• Lage und Querschnitt zeitlich konstant zs und As
• A ds ds A ds s
• Av ds A ds s t
• Bewegungsgleichung in Stromungsrichtung
• Krfte angewandt auf die im Volumenelement dV a
• v v dt ds t s
• v v dv v dt t s
• dp gz konst
• Konvektive Beschleunigung bkonv v
• Beispiel Verengter Kanal stationre inkompressible Strmung a o
• Bewegungsgleichung quer zur Stromungsrichtung
• Element sei senkrecht zu n herausgeschnitten
• MasseZeit m EnergieZeit
• z q p g s s
• h v gz q const Gleichungssystem
• dp g z const
• v h g z q const
•  Die Kombination der Gleichungen und liefert
• dp q const dp dq
• dp g z konst
• Anwendungen der Bernoulligleichung stationr inkompressibel ohne Verluste a
• Formen der Bernoulligleichung
• dp g z const
• v p v p g z g z
• p p g z z
• Bernoulligleichung inkompressibel stationr ohne Verluste a Hhenform o
• Geschwindigkeitshhe o Druckhhe o geodtische Hhe a o
• Rohrstromung ohne viskose Verluste
• v g p p p g
• Kontinuittsgleichung a v v wegen A A
• v p p z g g
• v v wegen A A
• p v p g z g z
• v g z z
• Ausußformel von Torricelli
•  Druckmessungen in Stromungen
• v p v p const
• Mit den Bezeichnungen q p pg
• Dynamischer Druck Statischer Druck
• p p v U Stelle Staupunkt p v
• c Statische Sonde
• Kombination aus beiden Sonden p wird eliminiert
• Bernoulligleichung p U pg
• U pg p q
•  Somit Geschwindigkeitsmessung U pg p
• Bernoulligleichung p w p w A A
• Aus beiden Gleichungen folgt
• w w p p w w
• Daraus folgt w p p
• Oene Gerinne Reibungslose Strmung o Horizontale Strmung o
• a Horizontales Gerinne
• Koordinatenursprung an der Wasseroberche a Beliebige Geschwindigkeitsverteilung vz
•  b Geneigtes Gerinne
• spezische Hhe o
• Grenztiefe Lage des Minimums h
• kleine Geschwindigkeit v v
• Strmen o Schießen
• große Geschwindigkeit v v
• Erweiterungen der Grundgleichungen Stromfadentheorie
• Dann gilt die Bernoulligleichung ohne Energiezufuhr
• v p v p g z g z
• Nm N m kg m kg
• H p A p P M
• DYNAMIK DER FLUIDE p gH
• Mit Volumenstrom Q folgt
• und spezischer Stutzenarbeit Y
• Bernoulligleichung mit viskosen Verlusten
• Hhenform o Darin bedeuten pV
• Es gelten die Zusammenhnge a pV g hV
• mittlere Geschwindigkeit v U
• Fluid Wand Betrag
• l v Spezische Dissipation beim Rohr dh
• v g x h V l
• Ohne viskose Verluste Torricelli v
• Mit viskosen Verlusten Bernoulligleichung Hhenform o
• v p p H hV g g g
• Daraus folgt v g H hV
• Fr ohne Verluste folgt die u TorricelliFormel
• Bernoulligleichung im rotierenden Bezugssystem
• Stromlinie im mitbewegten Koordinatensystem
• Bernoulligleichung im rotierend System
• vrel p r
• vrel Dies ist die Geschwindigkeit im rotierenden System
•  Bernoulligleichung instationr a
• Beschleunigung Verzgerung o
• p p p p
• Grundgleichungen mehrdimensional stationr a
• Kontinuittsgleichung a Stationre Strmung im Raum a o
• n Ot t v t Vt t
• x y z t tdV
• F FK FP FS
• vy dQ FKy FP y FSy
• vz dQ FKz FP z FSz
• ausstrmend o ausstrmend o o einstrmend
• Impulssatz ohne Volumenkraft in sRichtung
• v A dA p dp d v dv
• Anwendungen des Impulssatzes
• Rohrkrummer freier Teil von K
• v A v p A Rx
• Rx p v A
• Ry p v A
• v A v p p A Rxges
• Rxges p p v A
• Impulssatz in yRichtung
• v A v p p A Ryges
• Ryges p p v A
•  Freistrahl auf eine ebene Wand
• Kontrollche K jeweils a senkrecht durch die Teilstrahlen
• Schub eines Triebwerks
• ma oo Uoo Aoo A S Energiezufuhr ma
• Uoo oo S AS K U S
•  Aus Impulssatz folgt
• Kontinuitt a b
• U dy ma b
• uy dy strmt aus o
• ma b Impulssatz in xRichtung
• dy b U W x b
• U u dy b
• u u dy U U
• u u dy U U
• W x b U x
•  Durch Vergleich und Dierenzieren folgt
• woo w w wx w oo x
• wy wy wy wy wy wy wy
• Am Einzelgel gilt also u wy wy wy
• a Allmhliche Erweiterung ohne viskose Verluste a
• A A gegeben konst
• Kontinuittsgleichung a v A v A
• Bernoulligleichung ohne Verluste inkompressibel p v p v
• v p p v v
• maximale Druckerhhung o
• Damit p p A v A
• mit viskosen Verlusten reduzierte Druckerhhung o
• c Pltzliche Querschnittserweiterung Stoßdiusor o
• Kontinuitt Wie oben a
• v A A v p p A A
• pV A A A A v
• dM dt Impulssatz dI dt
•  Ist k g das Schwerefeld so folgt MK
• Mit der Schwerpunktkoordinate rS
• und der Volumenkraft FK FK
• Beispiel Laufrad einer Kreiselpumpe
•  Erforderliche Leistung strmungsmechanisch o
• Beispiel Allgemeine CouetteStrmung b Zeichenebene o
• op p o x dx
• unabhngig von y a
• Lsung uy k y k o
• l W U AStirn AStirn
• Wahl Damit Also U l Re
• W AStirn l l
• W cW AStirn
• Daraus folgt fr die Großausfhrung u u W
• U l W U l
•  und fr gleiches Medium folgt u
• dp R dx
• R r r dr
• dp R R dp R R dx dx
• l u d d u
• d dp u dx
• Mit folgt Mit Re folgt Re
• dp u dx R
• u R d u R u ud Reynoldszahl
• Gesetz von HagenPoiseuille
• Darstellung doppeltlogarithmisch Re
• Turbulente Rohrstrmung o
• Laminar möglichst störungsfreie Farb zuführung uP r ur
• Turbulent ur u P u instationär t
• Faden u stationär
• uP x y z t dt
• b Ubergangsbereich ks lam
• ks lg d
• von Krmn a a
• v v o y dy o
• ou u o x dx
• Damit muß gelten gleiche Grßenordnung o
•  Mit Rel folgt
• yKoordinate stark uberhht gezeichnet o
• Anwachsen der Grenzschicht mit Mßiger Geschwindigkeitsabfall a
•  Lngsangestrmte ebene Platte a o
• laminar y Uoo
• Aufgetragen ist der Reibungsbeiwert cf cf
• Ein Widerstandsbeiwert wre a cW
• ks l ks l oo Rel U l
• m Laminar Re Rekrit l xU
• cf Rel l Rel
• cf ln Rel cf
• Prandtl turbulent hydraulisch glatt
• cf cf oder auch cf cf
• Bei Rel Rekrit ist cf cf
• l m U Knoten m s m s
• Rel kszul l kszul m m mm
• m Ubergangsbereich Es gilt ein Gesetz der Art
•  Widerstand eines umstromten Korpers
• sin cos cos sin
• dyK p dx dx
• Druckbeiwert p p p p U q
• dyK x cp d dx l
• x cW D cW R l
• wobei das aus p resultierende Zusatzglied
• dyK p dx p dx
• dyK p yK l yK
• nicht viskose Strömung
• W D W D x l
• Stromungsverlufe fur umstrmte Krper a o o
• Symmetrischer dicker Krper o
• Unsymmetrischer schlanker Krper Anstellwinkel klein o
• cpunten x l cpoben
• Unsymmetrischer schlanker Krper Anstellwinkel groß o
• cp cp cpunten
• Aerodynamische Beiwerte Auftriebsbeiwert ca A
• Verlust infolge Ablösung
• Anstieg infolge Ablösung
• Strmungszustnde o a
• m Schleichende Strmung o
• U D Re oo v
• m Unterkritischer Bereich Re Rekrit Strmungszustand A o
• m o Uberkritischer Bereich Re Rekrit Strmungszustand B
• Prandtlscher Stolperdrahtversuch Strmungszustand A o
• Grenzschicht laminar turbulent
• Druckverteilung an der Kugel
•  Anmerkung Kreiszylinderstrmung o
• unterkritische Strmung o

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