Analysis II

Vorlesung Analysis II

Andreas Knauf∗

usammenfassung Vorlesungsbegleitendes Skript. Anregungen und Kritik sind willkommen!

Inhaltsverzeichnis

ur Notation 1 Uneigentliche Integrale 1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Absolute Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Die Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Integration rationaler Funktionen 2.1 Reelle und komplexe Polynome . . . . 2.2 Rationale Funktionen . . . . . . . . . 2.3 Integration reeller rationaler Funktionen 2.4 Weitere berechenbare Integrale . . . . 3 Taylor–Approximation reeller 3.1 Die Landau–Symbole . . . 3.2 Die Taylorformel . . . . . 3.3 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 1 1 3 5

7 . 7 . 10 . 12 . 13

Funktionen 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Kurven in der Ebene und im Raum 26 4.1 Regul¨re und nicht regul¨re Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . 26 a a 4.2 Wechsel der Parametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3 Kr¨mmung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 u

1 Mathematisches Institut, Universit¨t Erlangen-N¨rnberg, Bismarckstr. 1 2 , D–91054 a u Erlangen, Germany. e-mail: knauf@mi.uni-erlangen.de, web: www.mathematik.unierlangen.de/∼knauf ∗

i

5 Ableitung einer Abbildung vom Rm 5.1 Definition der totalen Ableitung . 5.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . 5.3 Der Gradient . . . . . . . . . . .

in den . . . . . . . . . . . . . . . .

Rn 35 . . . . . . . . . . . . . 37 . . . . . . . . . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 46 49 53

6 Mehrdimensionale Differentialrechnung 6.1 Differentiationsregeln . . . . . . . . . 6.2 H¨here Ableitungen . . . . . . . . . . o 6.3 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . 6.4 Anwendungen der Kettenregel . . . . .

7 Mehrdimensionale Taylorapproximation 57 7.1 Die Taylorformel in m Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.2 Die Hessematrix einer reellen Funktion . . . . . . . . . . . . . . 60 7.3 Extremalstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8 Implizite Funktionen 8.1 Der Banachscher Fixpunktsatz . . . . . 8.2 Das Newtonverfahren . . . . . . . . . 8.3 Das vereinfachte Newtonverfahren . . . 8.4 Konstruktion der impliziten Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 67 70 73 77

9 Extrema mit Nebenbedingungen 83 9.1 1. Methode: Parametrisierung der Nebenbedingungen . . . . . . . 84 9.2 2. Methode: Lagrange–Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . 86 10 Gew¨hnliche Differentialgleichungen o 88 10.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 10.2 Lokale Existenz und Eindeutigkeit der L¨sung . . . . . . . . . . . 92 o 10.3 Globale Existenz und Eindeutigkeit der L¨sung . . . . . . . . . . 98 o 11 L¨sungsmethoden f¨r lineare DGLn o u 101 11.1 Homogene lineare DGLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.2 eitabh¨ngige lineare DGLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 a 11.3 Quasipolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Literatur 115

ii

Index

116

Danksagung: Ich danke Frau I. Moch f¨r ihre hervorragende Arbeit beim Schreiu ben des Manuskriptes. Erlangen, im Juli 2005, A. K. Vorbemerkung: Dieses Skript kann kein Lehrbuch ersetzen. Einige Lehrb¨cher u zur Analysis sind im Literaturverzeichnis erw¨hnt. a

iii