Mathematik III für Elektroingenieure

Titel: Mathematik III für Elektroingenieure
Organisation: UNI HANNOVER
Seitenzahl: 28

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Inhalt

Mathematik III fur Elektroingenieure
stndige Vorlesung im Wintersemester u
Jrg Seiler o
Institut fr Angewandte Mathematik u
Kapitel Lineare Gleichungssysteme
an x an x ann xn
bn ani ann
dh mit derselben Lsung o
aij mik akj bi
Jetzt Z Z und dann Z
Z Z Z Z Z Z
Dann Z Z und
Z Z Z Z
Rckwrtseinsetzen liefert x T u a
Permutationsmatrix P sodass
l P A LR ln
Ubung Lse das LGS o Fr i u
a c c c a c c c
Invertierung von Matrizen
Dann Z Z dh P
Y y y y y
E bezeichnet die Einheitsmatrix
Z Z Z Z Z Z
Somit erhalten wir A
aij ak aiq apj pq
Schritt Setze s
ai sgna sv
S E v v T
und t Damit
v also v Damit folgt S
A S A Q S S
Gesamt und Einzelschrittverfahren
Beispiel Fr A u
j n nacheinander
BESV l sowie BGSV k
Zerlegung meint n S Z und S Z
Matrix und Vektornormen
x p xn p p
aij aij aij
max max eine Norm auf Rn Deniere Ax
Ax max x xRn x
heißt die natrliche Norm zu u
b Fr x ist u Ax Ax x
aj xj aj x
die sogenannte Spektralnorm von A Insbesondere ist Ax
zwei beliebige Normen auf V
Man sagt Je zwei Normen sind quivalent a
Dann sind A A Also
Bemerkung Es gilt die Formel condA max Ax
Woran liegt das An der Konditionszahl cond A
A A Weiterhin seien x x x
Ax A Ax x Ax Ax A Ax
A erhlt man die Behauptung a
sein Ist condA mit d
so liefert Satz

Vorschau

Mathematik III fur Elektroingenieure ¨

(2+1)-st¨ndige Vorlesung im Wintersemester 2006/2007 u

J¨rg Seiler o

Institut f¨r Angewandte Mathematik u

Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme

2.1 Der Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Die LR- erlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Das Cholesky-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Invertierung von Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 2.5 Die QR- erlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6 Gesamt- und Einzelschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 Matrix- und Vektornormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.8 Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Wir befassen uns mit Strategien zur L¨sung von LGS o a11 x1 a21 x1 . . . + a12 x2 + a22 x2 . . . + . . . + a1n xn + . . . + a2n xn . . . = = b1 b2 . . . bn   b1 . b =  .  ∈ Cn . bn

⇐⇒

Ax = b,

an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn =

wobei die (n × n)-Matrix und der n-Vektor   a11 · · · a1n  . .  = (a ) n×n .  A= . , ij 1≤i,j≤n ∈ C . . an1 · · · ann

gegeben sind und die L¨sung x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Cn gesucht ist. o Ist A regul¨r, d.h. a A−1 existiert ⇐⇒ det A = 0, so ist das LGS f¨r jedes b eindeutig l¨sbar. u o Satz 2.1 (Cramersche Regel) Ist det A = 0, durch  a11 . . . a1,(i−1) det Ai (b)  . . . xi = , Ai (b) =  . . . det A an1 . . . an,(i−1) so ist die L¨sung von Ax = b gegeben o b1 . . . a1,(i+1) . . .  . . . a1n .  .  .

(j = 1, . . . , n).

bn an,(i+1) . . . ann

Aber: Der Rechenaufwand betr¨gt inakzeptable (n + 1)! ﬂops. a Wir werden zwei Typen (numerischer) Verfahren zur L¨sung von LGS betrachten: o • Direkte Methoden (sie liefern die L¨sung in einer endlichen ahl von Schritten), o • Iterative Methoden (mit Konvergenz gegen die L¨sung). o

2.1 Der Gauß-Algorithmus

Im folgenden sei A ∈ Cn×n eine regul¨re Matrix. a Ist A eine rechte obere Dreiecksmatrix, d.h.  a11 a12 · · ·  0 a22 · · ·  A= . .. ..  . . . . 0 ··· 0 bn , ann n 1 xi = bi − aij xj , aii j=i+1 2  a1n a2n   . . .  . ann

so erh¨lt man die L¨sung x durch R¨ckw¨rtseinsetzen: a o u a xn =

i = n − 1, . . . , 1.

Analog, falls A eine linke untere Dreiecksmatrix ist. Dann L¨sen durch Vorw¨rtseinsetzen. o a Solche LGS heißen gestaﬀelt.    1 3 2 4 ¨ Ubung 2.2 L¨se 0 2 4 x = 2. Das heißt wir suchen x = (x1 , x2 , x3 )T mit o 0 0 3 6 x1 + 3×2 + 2×3 = 4 2×2 + 4×3 = 2 3×3 = 6. Es folgt 6 = 2, 3 1 x2 = (2 − 4×3 ) = −3, 2  9 1 x1 = (4 − 3×2 − 2×3 ) = 9, d.h. x = −3 . 1 2  

x3 =

Der Gauß-Algorithmus (GA) LGS zur¨ck: u  2 3 −4 −5 ¨ Ubung 2.3 L¨se o 2 6 2 3 −1 1 −4 −5 3 2 2 6 3 3

f¨hrt ein allgemeines LGS auf ein ¨quivalentes1 gestaﬀeltes u a    1 −1  x = 2. Dies geht wie folgt: 3 3 3 2 3 −1 1 0 1 1 4 0 3 4 2

−3

1 −− − −3 − →

2 +2 1 −

−3− −2 − −→

2 3 −1 1 0 1 1 4 . 0 0 1 −10

R¨ckw¨rtseinsetzen ergibt u a x3 = −10, x2 = 14, x1 = − 51 , 2 bzw. x = − 51 , 14, −10 2

T

.

Satz 2.4 (GA mit kanonischer Pivotwahl) Das LGS Ax = b ist ¨quivalent zum gestafa felten LGS A(n) x = b(n) mit   (1)   (1) (1) (1) b a11 a12 · · · a1n   1    0 a(2) · · · a(2)   b(2)  22 2n  A(n) =  . , b(n) =  2  , .  .. ..  .   . .  . . . .  .   . (n) (n) 0 ··· 0 ann bn falls folgende rekursive Deﬁnition sinnvoll ist: aij = aij