Allgemeine Relativitätstheorie

24. June 2011 Physik
  • Titel: Allgemeine Relativitätstheorie
  • Autor: BlueDraco
  • Organisation: UNI STUTTGART
  • Seitenzahl: 57

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Inhalt

  • Skript zur Vorlesung Allgemeine Relativitätstheorie
  • Fragen zum Kosmos Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung Gravitationswellen
  • Wiederholung der SRT
  • Relativistische Bewegungsgleichung für Teilchen mit Ruhemasse m
  • Es ist möglich die Elektrodynamik kovariant zu formulieren
  • ist Teil eines Vierervektors
  • Beide Ansätze liefern unphysikalische Lösungen
  • Die ART Erweiterung der SRT um die Gravitation
  • bei gegebener Massenverteilung
  • EulerLagrangeGleichung Einsetzen des in a ermittelten L ergibt
  • Benutze Umbenennung der Indices L
  • im zweiten Term führt zu
  • Geodätengleichung der ART mit kein Tensor
  • Wie transformieren die Differentiale
  • Jede nkomponentige Größe nach der Vorschrift
  • die sich wie die Differentiale transformiert also
  • Tensorprodukt wie gehabt
  • Allgemein Tensor Stufe ist Herunterziehen von Indizes
  • ein symmetrischer positiv definiter kovarianter
  • ist ein kontravarianter Tensor Stufe
  • cos cos cos sin sin
  • c Oberfläche der Einheitskugel r Zweidimensionaler gekrümmter Raum
  • Kartesisch det det det det det
  • Einsetzen in a liefert
  • Allgemein in krummlinigen Koordinaten det
  • Komponenten des Tensors
  • Das Skalarprodukt zwischen
  • ist ein topologischer Raum mit
  • Jeder Punkt besitzt eine Umgebung
  • Art Art kein Tensor
  • Ableitung eines kontravarianten Vektors
  • ist Tensor der Stufe
  • Entsprechend Ableitung eines kovarianten Vektors
  • Kovariante Ableitung von Tensoren höherer Stufe
  • Koordinate um cos
  • parallelverschobene Tangentialvektoren des Punktes Tangentialvektoren am Punkt erscheinen
  • Vektorfeld Frage Wie ändert sich Richtung
  • bei Parallelverschiebung längs einer
  • Gleichung liefert ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der
  • Lösung Und entsprechend für Einsetzen in mit
  • Bemerkung Die Lösung ist nicht eindeutig
  • unabhängige Gleichungen für
  • Kontravariantes Differential Sei ein kontravariantes Vektorfeld dann ist
  • Differential in lokal kartes Koordinaten
  • ebenfalls ein kontravariantes Vektorfeld
  • Kovarianter Differenzvektor Parallelverschiebung eines Skalars
  • ist ein kovariantes Vektorfeld
  • Kovariante Ableitung eines kontravarianten Tensors
  • Rotation eines kovarianten Tensors
  • ist ein antisymmetrischer kovarianter Tensor Stufe
  • in formaler Analogie zur klassischen Mechanik
  • Kovariante Ableitungen für Tensoren höherer Stufe Bilde Skalar
  • Basisvektor in Richtung
  • Parallelverschiebung des Skalars
  • Die Krümmung des Raums
  • Zylinderfläche Geschlossener Weg auf Zylinderoberfläche Mantel flacher Raum
  • Riemannscher Krümmungstensor der Stufe
  • Tensor Es gilt
  • aber im Allgemeinen
  • Formale Definition des Krümmungstensors
  • entspricht der Vertauschbarkeit der ten Ableitungen ist Tensor
  • sind immer symmetrisch in den unteren Indices
  • Symmetrien des Krümmungstensors Es gilt
  • Verjüngung des Krümmungstensors
  • Symmetrischer Tensor Stufe RicciTensor
  • Physikalische Grundlagen der ART
  • Fahrstuhlexperimente Betrachte Fahrstuhl in einem homogenen Schwerefeld
  • Damit folgt durch Einsetzen in das Variationsprinzip
  • liefert Christoffelsymbole und Krümmungstensor
  • daraus folgt Problem Gesucht Erinnerung
  • Feldenergiedichte PoyntingVektor Energiestrom
  • maxwellscher Spannungstensor beschreibt Impulsstrom
  • Eigenschaften des EnergieImpulsTensors im Vakuum vier Kontinuitätsgleichungen
  • Aufspaltung Ansatz für Materie
  • ist Energiedichte der Materie
  • Wie in der EDyn gelten die Kontinuitätsgleichungen
  • ist Divergenzfrei durch kovariante Ableitung
  • T in gekrümmten Räumen ersetze
  • Rechte Seite Linke Seite
  • a aus Divergenzfreiheit
  • Bestimmung von b und
  • Wir hatten nichtrel Näherung
  • oder sehr klein
  • Damit Bedingung erfüllt
  • Einsteinsche Feldgleichungen ohne Kosmologische Konstante
  • Bemerkung ist sehr klein
  • Anwendungen der ART
  • Allgemeiner Ansatz für sphärischsymmetrische Metrik sin
  • Berechnung der Christoffelsymbole von Null verschieden
  • und des RicciTensors Ergebnis
  • Bem Singularität bei
  • Folgerungen aus der Schwarzschildmetrik
  • weit entfernter Beobachter ohne Gravitationseinfluss
  • wobei die Eigenzeit des Teilchens ist und
  • Einsetzen in die Gleichung wobei Differenzieren nach
  • Term zusätzlich zur Newtonschen Mechanik
  • ist eine kleine Störung
  • Lösung mittels klassischer Störungstheorie
  • Setze u im Störterm
  • Bogensekunde pro Jhd
  • was eine Gerade ist
  • Radius der Sonne
  • einsetzen in Störung sin Asymptotisch sin cos
  • Laufzeitverzögerung Idee Radarsignal Erde Signals
  • Bei Konjunktion Erde Sonne Venus
  • bestätigt bis auf
  • t ist eine zyklische Variable
  • Nun gilt Annahme
  • Eigenzeit mitbewegter Beobachter
  • Bei rR Wenn man das einsetzt erhält man
  • Wählt man nun
  • so erhält man
  • Das Teilchen erreicht nach endlicher Eigenzeit den Schwarzschildradius
  • Ziel positiv und frei von Singularitäten
  • Singularität nur für r
  • und v tanh Kurven konstanter Koordinate t sinh
  • Geraden im uvDiagramm
  • wird immer in der
  • Gravitationskollaps Elementare Theorie entarteter Sterne
  • Zustandsgleichungen a Normale Sterne Gasdruck aufgebaut durch Fusionsprozesse
  • Allgemein Ideale Gase
  • nicht relativistisch relativistisch
  • Übergang bei Weiße Zwerge mit n
  • nicht relativistisch relatvistisch
  • Compton Wellenlänge des
  • Radien weißer Zwerge
  • c Neutronensterne ab ab
  • Radien der Neutronensterne Masse
  • Heller Stern Emittierte Röntgenstrahlung
  • beliebige Funktion von t
  • RobertsonWalkerMetrik in dim RaumZeit
  • Zusammengefasst RobertsonWalkerMetrik im dim RaumZeit
  • konstant neg Krümmung siehe
  • mit flacher Raum siehe
  • konstant pos Krümmung siehe
  • Kosmologische Konstante EnergieImpulsTensor
  • Berechnung des RicciTensors
  • Für die RobertsonWalkerMetrik liefert dies
  • Trivial erfüllt für I II
  • Urknall flaches Universum offenes Universum
  • Abstand zur freien Zeit t dt Näherung
  • Fluchtgeschwindigkeit HubbleZahl räumlich konstant
  • HelligkeitsRotverschiebungsBeziehung ohne Herleitung
  • Weltmodelle mit kosmologischer Konstante
  • WW mit Licht und Gravitation
  • WW nur über Gravitation
  • Absolute Helligkeit Supernovae Typ Ia
  • Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung
  • Damit ergibt sich die linearisierte Feldgleichung zu
  • ungestrichenes altes Koordinatensystem
  • Viererstrom Elektrodyn Potentiale in LorentzEichung
  • Bedingungen symmetrisch Bedingungen
  • Ausbreitung der Gravitationswellen in z Richtung
  • Damit in TTEichung
  • Polarisation x h wie aber um gedreht y
  • Bei beiden ist
  • Die Quadropolnäherungen Retardierte Lösung der inhomogenen Feldgleichungen
  • Wellenlänge der GW Fernfeld in eine Multipolreihe

Vorschau

Skript zur Vorlesung Allgemeine Relativitätstheorie

gelesen von: Apl. Prof. Dr. rer. nat. Jörg Main Skript von : Michael Klas

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Inhalt

1. Wiederholung der SRT …………………………………………………………………………………………………….. – 4 2. Die ART: Erweiterung der SRT um die Gravitation …………………………………………………………….. – 5 2.1 Bewegung im Gravitationsfeld: Geodätengleichung der ART………………………………………….. – 5 3. Riemannsche Geometrie…………………………………………………………………………………………………… – 7 3.1 Tensoralgebra ……………………………………………………………………………………………………………. – 7 3.2 Der metrische Tensor …………………………………………………………………………………………… – 7 –

3.3 Das Volumenelement …………………………………………………………………………………………………. – 9 3.4 Tensoralgebra ………………………………………………………………………………………………………….. – 10 3.4.1 Multilinearform …………………………………………………………………………………………………. – 10 3.5 Metrische Räume ……………………………………………………………………………………………………… – 10 3.6 Riemannsche Räume, differenzierbare Mannigfaltigkeit ……………………………………………….. – 10 3.6.1 Tangentialraum ………………………………………………………………………………………………….. – 11 3.6.2 Kotangentialraum ………………………………………………………………………………………………. – 11 3.6.3 Koordinatentransformation………………………………………………………………………………….. – 12 3.7 Tensoranalysis …………………………………………………………………………………………………………. – 13 3.7.1 Parallelverschiebung, affine usammenhänge ……………………………………………………….. – 13 3.7.2 Kontravariantes Differential ………………………………………………………………………………… – 15 3.7.3 Kovariante Ableitungen ……………………………………………………………………………………… – 15 3.7.4 Kovarianter Differenzvektor ……………………………………………………………………………….. – 15 3.7.5 Kovariante Ableitung eines kontravarianten Tensors ……………………………………………… – 15 3.8 Divergenz ……………………………………………………………………………………………………………….. – 16 3.9 Rotation eines kovarianten Tensors ……………………………………………………………………….. – 16 –

3.10 Geodätische Linien …………………………………………………………………………………………………. – 16 4. Die Krümmung des Raums …………………………………………………………………………………………….. – 17 4.1 Krümmung bekannter Flächen …………………………………………………………………………………… – 17 4.1.1 Ebene (allgemein flacher Raum) ………………………………………………………………………….. – 17 4.1.2 Kugeloberfläche ………………………………………………………………………………………………… – 17 4.1.3 ylinderfläche …………………………………………………………………………………………………… – 17 4.2 Der Krümmungstensor ……………………………………………………………………………………………… – 17 4.2.1 Formale Definition des Krümmungstensors …………………………………………………………… – 18 4.2.2 Symmetrien des Krümmungstensors …………………………………………………………………….. – 19 4.2.3 Kovarianter Krümmungstensor ……………………………………………………………………………. – 19 4.2.4 Verjüngung des Krümmungstensors …………………………………………………………………….. – 19 4.2.5 Verjüngung des Ricci-Tensors …………………………………………………………………………….. – 19 4.2.6 Bianci-Identität ………………………………………………………………………………………………….. – 19 -2-

4.2.7 Pseudoriemannsche Mannigfaltigkeit …………………………………………………………………… – 19 5. Physikalische Grundlagen der ART …………………………………………………………………………………. – 21 5.1 Äquivalenz schwerer und träger Masse ……………………………………………………………………….. – 21 5.2 Fahrstuhlexperimente ……………………………………………………………………………………………….. – 21 5.2.1 Weight-Watcher-Experiment ………………………………………………………………………………. – 21 5.2.2 Freie-Fall-Experiment ………………………………………………………………………………………… – 22 5.3 Mathematische Formulierung des Äquivalenzprinzips ………………………………………………….. – 22 5.3.1 Bewegungsgleichungen der ART und ihre nicht-relativistische Näherung ………………… – 23 5.3.2 Poisson-Gleichung……………………………………………………………………………………………… – 24 5.4 Eigenschaften des Energie-Impuls-Tensors …………………………………………………………………. – 24 6. Anwendungen der ART………………………………………………………………………………………………….. – 28 6.1 Die Schwarzschild-Metrik …………………………………………………………………………………………. – 28 6.1.1Berechnung der Christoffelsymbole (von Null verschieden) …………………………………….. – 28 6.1.2 Berechnung des Krümmungstensors …………………………………………………………………….. – 29 6.2 Folgerungen aus der Schwarzschildmetrik …………………………………………………………………… – 30 6.2.1 Uhren im Gravitationsfeld und Gravitationsrotverschiebung……………………………………. – 30 6.2.2 Teilchenbahnen in der Schwarzschild-Metrik: Periheldrehung ………………………………… – 31 6.2.3 Lichtablenkung in der Schwarzschild-Metrik ………………………………………………………… – 33 6.2.4 Newtonsche Theorie …………………………………………………………………………………………… – 34 6.2.5 Laufzeitverzögerung …………………………………………………………………………………………… – 34 7. Gravitationskollaps und schwarze Löcher…………………………………………………………………………. – 35 7.1 Kruskal-Koordinaten ………………………………………………………………………………………………… – 37 7.2 Gravitationskollaps: Elementare Theorie entarteter Sterne …………………………………………….. – 39 7.3 Kosmologie …………………………………………………………………………………………………………….. – 41 7.4 Die Friedmann-Universen (ohne kosmologische Konstante Λ 0) ………………………………… – 44 –

7.4.1. Bestimmung der Hubble- ahl: Die Rotverschiebung …………………………………………….. – 46 7.4.2. Weltmodelle mit kosmologischer Konstante (Λ 0 …………………………………………….. – 47 –

7.4.3. Fragen zum Kosmos ………………………………………………………………………………………….. – 48 7.4.4. Anisotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung ………………………………………………… – 52 8. Gravitationswellen…………………………………………………………………………………………………………. – 54 –

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