Analysis I

Vorlesung Analysis I

Andreas Knauf∗ Wintersemester 2010/2011

usammenfassung Vorlesungsbegleitendes Skript. Anregungen und Kritik sind willkommen!

Inhaltsverzeichnis

ur Notation Kleines Englisch-W¨rterbuch o 1 Einleitung: iel und Inhalt der Analysis 2 Die 2.1 2.2 2.3 2.4 Sprache der Mathematik Mengen . . . . . . . . . . . Relationen . . . . . . . . . Abbildungen . . . . . . . . Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv v 1 5 . 5 . 8 . 11 . 15

3 Die nat¨rlichen ahlen u 16 3.1 Definition von N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Die Beweistechnik der vollst¨ndigen Induktion . . . . . . . . . . 19 a 4 Die 4.1 4.2 4.3

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ganzen ahlen 21 Definition von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 als Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 als Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Department Mathematik, Universit¨t Erlangen-N¨rnberg, Bismarckstr. 1 1 , D–91054 a u 2 Erlangen, Germany. e-mail: knauf@mi.uni-erlangen.de, web: www.mathematik.unierlangen.de/∼knauf

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5 Die 5.1 5.2 5.3 6 Die 6.1 6.2 6.3 6.4

rationalen ahlen Definition von Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q als K¨rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Q als angeordneter K¨rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o reellen ahlen Cauchy-Folge rationaler ahlen R als angeordneter K¨rper . . . o Vollst¨ndigkeit von R . . . . . a Infimum und Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 32 35 40 41 44 48 51 54 54 61 66 69 76 77 78 82 84 91 92 94 98 100

7 Folgen 7.1 Reelle Folgen . . . . . . . . . 7.2 Die komplexen ahlen . . . . 7.3 Metrische R¨ume . . . . . . . a 7.4 Folgen in metrischen R¨umen a

8 Reihen 8.1 Definition und Konvergenzbegriff . . . . 8.2 Konvergenzkriterien f¨r Reihen . . . . . u 8.3 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . 8.4 Potenzreihen und die Exponentialfunktion 9 Stetige Abbildungen 9.1 Stetigkeitskriterien . . . . . . . . . . . . 9.2 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . 9.3 Gleichm¨ßige Stetigkeit und gleichm¨ßige a a 9.4 Eigenschaften stetiger reeller Funktionen

. . . . . . . . . . . . . . Konvergenz . . . . . . .

10 Elementare Funktionen 102 10.1 Die Exponentialfunktion und der Logarithmus . . . . . . . . . . . 103 10.2 Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.3 Die Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 11 Differentialrechnung 112 11.1 Begriff der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 11.2 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . 119 11.3 Die Regeln von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

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12 Integration reeller Funktionen 12.1 Ober- und Untersumme . . . . . . 12.2 Das Riemannintegral . . . . . . . . 12.3 Der Hauptsatz der Differential– und 12.4 Berechnung von Integralen . . . . . Literatur Index

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integralrechnung . . . . . . . . . .

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122 122 124 129 131 133 134

Danksagung: Ich danke Frau I. Moch f¨r ihre hervorragende Arbeit beim Schreiu ben des Manuskriptes und Herrn Prof. Dr. H. Schulz-Baldes, Herrn Dr. N. Ay, Herrn Dr. St. Weis sowie zahlreichen Studierenden f¨r ihre Korrekturvorschl¨ge. u a Erlangen, im November 2010, Andreas Knauf Vorbemerkung: Dieses Skript kann kein Lehrbuch ersetzen. Einige Lehrb¨cher u zur Analysis sind im Literaturverzeichnis erw¨hnt. a

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