Analysis I für Informatiker

24. June 2011 Mathematik
  • Titel: Analysis I für Informatiker
  • Autor: Dr. Walter Spann, Satz
  • Organisation: OBELIKS
  • Seitenzahl: 123

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Inhalt

  • Grundlagen
  • Aussagenlogik
  • Äquivalenz
  • Implikation
  • Kontrapositionsgesetz
  • Mengenbegriff und Elementschreibweise
  • Quantorenschreibweise
  • Mengenoperationen
  • Kartesische Produkte
  • Abbildungen
  • Verkettung von Abbildungen
  • Reelle Zahlen
  • Körperaxiome
  • Rechenregeln
  • Summen-, Produkt- und Potenzschreibweise
  • Binomischer Satz
  • Geometrische Summenformel
  • Grad eines Polynoms
  • Anordnungsaxiome
  • Rechenregeln
  • Betrag von x
  • Dreiecksungleichung
  • Ganze Zahlen nach vollständiger Induktion
  • Bernoullische Ungleichung
  • Potenzsummen
  • Rekursive Definition
  • Anordnungsaxiome (Fortsetzung)
  • Vollständigkeit von IR
  • Vollständigkeitsaxiom
  • lipschitzstetige Funktion
  • Zwischenwertsatz (vorläufige Fassung)
  • Folgen und Grenzwerte
  • Grenzwert einer Folge
  • Grenzwerte von Nullfolgen
  • Rechenregeln I
  • Rechenregeln II
  • Einige Grenzwerte
  • Häufungspunkte einer Folge
  • Satz von Bolzano-Weierstraß (1. Fassung)
  • Teilfolge
  • Satz von Bolzano-Weierstraß (2. Fassung)
  • monotone Folge
  • Konvergenz beschränkter monotoner Folgen
  • Heronverfahren
  • Ungleichung von arith. und geo. Mittel
  • Motivation der Exponentialfunktion
  • Exponentialfunktion
  • Natürlicher Logarithmus
  • Bestimmt divergente Folgen
  • Rechenregeln in IR
  • Cauchyfolge
  • Cauchykriterium für Folgen
  • Reihen
  • Cauchykriterium für Reihen
  • Absolute Konvergenz von Reihen
  • Majorantenkriterium
  • Quotientenkriterium
  • Exponentialreihe
  • Wurzelkriterium
  • Leibnizkriterium
  • Umordnungssatz
  • Cauchyprodukt
  • Additionstheorem
  • Periodizität von trigonometrischen Funktionen
  • Potenzreihen
  • Satz von Bolzano-Weierstraß (3. Fassung)
  • Satz von Cauchy-Hadamard
  • Stetige Funktionen
  • Grenzwert von Funktionen
  • Stetigkeit
  • Definition der Stetigkeit
  • Verknüpfung stetiger Funktionen
  • Zwischenwertsatz
  • Umkehrung streng monoton stetiger Funktionen
  • Motivation für Supremum und Infimum einer Menge MR
  • –Definition der Stetigkeit
  • Differentiation
  • Einige Ableitungen
  • Ableitungsregeln für arithmetische Operatoren
  • Kettenregel
  • Ableitung der Umkehrfunktion
  • lokale Extremstellen
  • Notwendige Bedingungen für ein lokales Extremum
  • Mittelwertsatz
  • Satz von Rolle
  • Hinreichende Bedingung für globales Extremum
  • Verallgemeinerter Mittelwertsatz
  • Regel von de L’Hospital
  • Satz von Taylor mit Lagrange-Restglied
  • gliederweise Differentiation einer Potenzreihe
  • gliedweise Integration einer Potenzreihe
  • Abelscher Grenzwertsatz

Vorschau

Analysis I für Informatiker

im Wintersemester 2005/2006

Skript zur Vorlesung

Dr. Walter Spann

Satz: Bernhard Frauendienst

Inhaltsverzeichnis 0

Analysis I für Informatiker WS 05/06, Dr. Walter Spann

Inhaltsverzeichnis

Ÿ 0.Grundlagen

Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Äquivalenz: Implikation:

5 5 6 8 8 9 10 13 17 18

⇐⇒ =⇒

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kontrapositionsgesetz

Mengenbegri und Elementschreibweise

Quantorenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kartesische Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verkettung von Abbildungen

Ÿ 1.Reelle ahlen

Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen-, Produkt- und Potenzschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomischer Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grad eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechenregeln Betrag von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

21 22 23 25 25 26 28 28 29 30 31 31 31 32 34 35 36 36 37

x

Dreiecksungleichung

Ganze ahlen nach vollständiger Induktion Potenzsummen

Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rekursive Denition Vollständigkeit von

Anordnungsaxiome (Fortsetzung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R

Vollständigkeitsaxiom

lipschitzstetige Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . wischenwertsatz (vorläuge Fassung)

Ÿ 2.Folgen und Grenzwerte

Grenzwert einer Folge Rechenregeln I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzwerte von Nullfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechenregeln II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Grenzwerte Häufungspunkte einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Satz von Bolzano-Weierstraÿ (1. Fassung) Teilfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

40 42 44 46 47 49 50 51

Analysis I für Informatiker WS 05/06, Dr. Walter Spann

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis

Satz von Bolzano-Weierstraÿ (2. Fassung)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 52 52 53 54 55 56 60 65 68 70 70

monotone Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvergenz beschränkter monotoner Folgen Heronverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ungleichung von arith. und geo. Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivation der Exponentialfunktion Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Natürlicher Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestimmt divergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechenregeln in

R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cauchyfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchykriterium für Folgen

Ÿ 3.Reihen

Cauchykriterium für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absolute Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Majorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quotientenkriterium Exponentialreihe Wurzelkriterium Leibnizkriterium Umordnungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

74 75 76 76 77 78 79 81 82 84 86 88 89 93

Cauchyprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Additionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Periodizität von trigonometrischen Funktionen Potenzreihen Satz von Bolzano-Weierstraÿ (3. Fassung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Satz von Cauchy-Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ÿ 4.Stetige Funktionen

Grenzwert von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Denition der Stetigkeit

96

96 96 96 97 97 98 99

Verknüpfung stetiger Funktionen

wischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umkehrung streng monoton stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivation für Supremum und Inmum einer Menge

M⊂R.

. . . . . . . . . .

ε-δ -Denition

der Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Ÿ 5.Dierentiation

Ableitungsregeln für arithmetische Operatoren Kettenregel Ableitung der Umkehrfunktion

103

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Einige Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107