Analytische Geometrie und Lineare Algebra

• Titel: Analytische Geometrie und Lineare Algebra
• Organisation: GWDG
• Seitenzahl: 255

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Inhalt

• Prof Dr Ina Kersten
• Analytische Geometrie und Lineare Algebra
• A L TE Bearbeitung von Stefan Wiedmann
• Mathematisches Institut der GeorgAugustUniversitt Gttingen a o
• Der Zeilenrang von Matrizen Ubungsaufgaben
• R R dimensionaler Raum Die Ebene R R
• Einige abkurzende Schreibweisen
• R R dimensionaler Raum
• N Menge der Quadratzahlen in N
• N Menge der natrlichen Zahlen u
•  Die komplexen Zahlen
• Abbildung Die Ebene
• Die komplexen Zahlen
• Wir denieren eine Addition und eine Multiplikation in
• Jedes Element z
• i i i i i i
• Betrag einer komplexen Zahl
• z z x yix yi x y
•  Der ndimensionale Raum
• Der ndimensionale Raum
• Geraden in der reellen Ebene
• Abbildung Schnittpunkt der beiden Geraden
• Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten
• Wir betrachten zwei Geraden in L x y
• R ax by e
• R cx dy f
•  Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten
• Abbildung Zwei Geraden in
• am am amn
• Zeilen Spalten Diagonal und weitere Summen ergeben jeweils
• Denition eines Korpers
• Q R C sind Krper o
• Dann ist K ein Krper o
• Sei K Setze
•  Denition einer Gruppe
• Denition einer Gruppe
• Eindeutigkeit des neutralen und inversen Elements
• andererseits a a a a a e a
• Denition eines K Vektorraumes
• mit und K ist ein KVektorraum
• Rn ist ein RVektorraum vgl
• Addition f g Skalarmultiplikation f
• E f x gx E f x
• Abb K f
• Rechenregeln in Vektorrumen a
• Abbildung Beispiele fr v u
• Es ist v v v x xn
• v w und v w
• w v v linear unabhngig a
• linear abhngig a
• Beispiele und Gegenbeispiele
• Uj v V v Uj j J
• ein Untervektorraum von V
•  Beispiele und Gegenbeispiele
• und damit ist
• Behauptung U x y von
• R x y ist ein Untervektorraum R R
• Abbildung Kein Untervektorraum
• Der von einer Teilmenge aufgespannte Teilraum
• U Teilraum von V mit SU
• Durchschnitt aller Teilrume a die S enthalten
• Abbildung U U ist kein Untervektorraum
• Der von S U U aufgespannte Teilraum von
• mit x a
• R ist die Summe
•  Summe von Teilrumen a
• also x y xy und xy
• R lsbar denn o
• Summe von Teilrumen a
• Mit Hilfe von folgt Uj
• Direkte Summen von Teilrumen a
• u u u u
• u u u u
• Direkte Summen von Vektorrumen a
• Aufgabe Man zeige dass die Menge G
• R bezglich der durch u
• R jeweils als Linearkombination der Vektoren
• w v v v w v v v
• Basis und Dimension
• Lineare Unabhngigkeit a
•  In K n sind die Vektoren
• e e en linear unabhngig a
• Abbildung linear unabhngige Vektoren a
• Kriterium fur lineare Abhngigkeit a
•  Denition einer Basis und Beispiele
• Denition einer Basis und Beispiele
• Eindeutigkeit der Basisdarstellung
• Charakterisierung einer Basis
• Abbildung Zwei Parabeln
•  Basen in Vektorrumen a
• Basen in Vektorrumen a
• Folgerung aus dem Austauschsatz
• Dimension eines K Vektorraums
•  Weitere Folgerungen aus dem Austauschsatz
• Weitere Folgerungen aus dem Austauschsatz
• Dimension eines Untervektorraums
• U Ebene durch
• Abbildung Geraden und Ebenen
• E V nennen wir auch einen Endomor
• E W v E ist Klinear E
• Die Nullabbildung V
• Die komplexe Konjugation f nicht linear
• Rlineare Abbildung Aber f ist nicht Clinear da
• Sei I a b x
• D C I I C I
• E C I E C I
• Existenz und Eindeutigkeitssatz fur lineare Ab bildungen
• Eigenschaften von linearen Abbildungen
• E W eine Klineare
•  Isomorphismen von K Vektorrumen a
• E W ist injektiv genau dann wenn kernf
• Isomorphismen von K Vektorrumen a
• Ist f V mit
• Klassikationssatz fur endlich dimensionale Vek torrume a
• B ist also linear unabhngig a
• Folgerung aus der Dimensionsformel
• bildf W nach f surjektiv
•  Beispiele fur unendlich dimensionale Vektorrume a
• f surjektiv dimK bildf dimK W dimK V
• Beispiele fur unendlich dimensionale Vektorrua me
• ist ein Isomorphismus mit Umkehrabbildung DU
• a a a a
• E a a ist
• E a a ist
• D C a b I C a b
• b Man untersuche fr welche t u
• R die Vektoren
• v v t v linear abhngig in a
• R sind R sind wenn
• v v und v v v und v
• RVektorrume jeweils eine Basis a
• erzeugten Untervektorraums Ut von
• R R sei deniert durch
• Lineare Abbildungen und Matrizen
• a a Wir schreiben auch einfach
•  Produkt von Matrizen
• a a aij K fr u a
• Produkt von Matrizen
• E K deniert
• Hierdurch wird eine Klineare Abbildung f K vgl
• Die Matrix MC f einer linearen Abbildung B
• HomK V W f V
• E W f ist Klinear
•  Die Dimension von HomVW
• Beispiele Sei f
• denn f und f
• Die Dimension von HomK V W
• Die Darstellungsmatrix MB id B
• C Die Darstellungsmatrix MA f g
• f g U Klinear und es gilt
• b b B MA g bn bn
•  Rechenregeln fur lineare Abbildungen
• Rechenregeln fur lineare Abbildungen
• f g f g f g f g
• Rechenregeln fur Matrizen
• Die zu einer Matrix gehrende Standardabbilo dung
• x E A xn
•  Die zu einer Matrix gehorende Standardabbildung
• an x xn
• f Insbesondere wird bildf von
• Faktorisierung einer linearen Abbildung
• fE W kC gE Km
• nach Def von nach nach
• nach Def von nach da kC Klinear nach
• d b c a detT
• Basiswechsel in V
• T MB id B denn
• vgl Es ist T MB id B
• Basiswechsel und Darstellungsmatrix
• MC f MB idV B B
• Eine geschickte Basiswahl
• MC f B
• r dimK bild f
•  Rang einer Matrix
• Rang einer Matrix
• Wie in Bemerkung denieren wir rangf dimK bildf
• Rang und Invertierbarkeit
• Beweis Sei A invertierbar dann ist die Standardabbildung
• x E A xn
• Die allgemeine lineare Gruppe
• E V f ist ein Isomorphismus
•  Die Transponierte einer invertierbaren Matrix
• Die Transponierte einer invertierbaren Matrix
• A tA t AA tEn En
• Der Zeilenrang von Matrizen
• Spaltenrang von A
• f W V f
• R sowie die Rlineare Abbildung f R R
• R sowie die Basen C und C
• R R eine Rlineare Abbildung mit der Matrix
• R Das System
• x x x x
• besitzt keine Lsung vgl Aufgabe c o
• f injektiv Eindeutigkeit
• Behauptung folgt nach
•  Die Menge der Losungen
• Die Menge der Losungen
• Es folgt x x x x x x
• Elementare Umformungen einer Matrix
• Elementare Umformungen und die Lsungsmenge o
•  Gaußscher Algorithmus m n rang A
• Gaußscher Algorithmus m n rang A
• a an a an a an an ann
• b a b nn n
• Verfahren zur Inversion einer Matrix
• nummerieren Schließlich erhalten wir eine Matrix der Form
• b bk bk bm
• A und b Es folgt Ab
• cn cn crn
• R bestimme man die Lsungsmenge des Gleichungso
• Denition der Determinante
• Die Determinante einer Matrix
• Eigenschaften der Determinante
•  Eigenschaften der Determinante
• Beweis zu a Ist
• zi A z j
• zn dann folgt
• B z zj i
• zi C z zj i
• Beweis der Eindeutigkeitsaussage in
• ij aij det Aij
• det A det zi ite Zeile zn
• det z i zi
• z i zi zn z
• j bkj k det Bkj det B j
• z k zk und B z
• z k z z
• z mit z zk
•  Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix
• Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix
• z z E z z
• Kriterium fur invertierbare Matrizen
• Determinante der transponierten Matrix
• Multiplikationssatz fur Determinanten
• E det B detAB
• C zi zi zn folgt
• CB zi zi B zi B
• f zi f zi zn zn
•  Methode zur Berechnung der inversen Matrix
• Methode zur Berechnung der inversen Matrix
• aik kj det Ajk
• nach Denition von B
• Entwicklung nach der jten Zeile
•  Orientierung in reellen Vektorrumen a
• Orientierung in reellen Vektorrumen a
• Abbildung x x mit det
• Die Determinante eines Endomorphismus
• Einen Isomorphismus f V
• E V nennen wir einen Automorphismus
• Die Determinante als Volumen
• Flcheninhalt eines Parallelogramms a
• R Wir berechnen den Flcheninhalt des Parallelogramms a
•  Flcheninhalt eines Parallelogramms a
• h v h v v
• Die spezielle lineare Gruppe
• R invertierbar sind und bestimme
• y x x y x y y x
• Aufgabe Gegeben seien uber
• die Matrix A und der Vektor b
• Aufgabe In Abhngigkeit von t a systems
• R die zu sich selbst invers sind
• x y det x y x y
• Metrische Vektorrume a
• Sei K ein Krper o
• Involution auf K
•  Metrik auf V
• die komplexe Konjugation Sie ist eine Involution mit
• Abbildung Komplexe Konjugation
• E ist eine Involution bei der
• Sei K Die Abbildung Involution mit
• E x yi ist eine
• Abbildung Spiegelung an der yAchse
• a Die Abbildung K K
• E ist eine Involution mit
• Metrik auf V
• v u w u u v u w
• und v w w v w v
• w v w v v w
• f g d fr f g V u
• E x yi und V
• fr K u zu Fall Ia K
• det zu Fall IIa K
• fr K u
• R id und V R Setze
• aij aji i j n
• A aij ei
• und das bedeutet v w
• vgl Es gilt
• i j aji da j j j j
• n A analog wie oben n w v
• schiefsymmetrisch falls A tA gilt zum Beispiel
• A hermitesch A schiefhermitesch A symmetrisch A schiefsymmetrisch
• hermitesch schiefhermitesch symmetrisch schiefsymmetrisch
• t tn n T T
• tn tnn n
• und damit gilt
• n t T MB s T n
• sv w n MB s n
• Euklidische und unitre Vektorrume a a
• linear im ersten Argument
• Symmetrieeigenschaft positiv denit
• v v fr v u
• v w n n
• v w n n v w n n
• R und v a b R Dann ist
• Abbildung Lnge des Vektors v a
• v v falls v
• Multiplikation der Ungleichung mit w
• K dann folgt
• v w w w w w w w
• Andererseits gilt v w w
• Es folgt die Behauptung
• v Mit der Bezeichnung erhalten wir vw
• E K v w E v w
•  Das Radikal eines metrischen Vektorraumes
• Das Radikal eines metrischen Vektorraumes
• Insbesondere ist u Rad V V
• Geschickte Basiswahl zur Rangbestimmung
• v v MB s v n v
• t T MB s T MB s
• wobei der KVektorraum V folgendermaßen deniert ist
•  Geschickte Basiswahl zur Rangbestimmung
• ist ein Isomorphismus
• Folgerung fur symmetrische und schiefsymmetri sche Matrizen
• ein Isomorphismus da Rad V ist Sei V
• kern dimK bild
• Symplektische Rume a
•  Symplektische Rume a
• Normalform schiefsymmetrischer Matrizen
• symmetrisch Linearitt im Argument a
• in Ubereinstimmung mit
• Trgheitssatz von Sylvester a
• Sei V ein ndimensionaler
• R nicht positiv denit
• u v u v u u
•  Trgheitssatz von Sylvester a
• pos def neg def
• Korollar Ist V ein ndimensionaler
• B und B
• c u w v w
• v v v
• b Man ergnze u a malbasis von
• u zu einer Orthonor
• Metrische Abbildung und Isometrie
• E W heißt metrisch oder Metrik
• Metrische Abbildung eines regulren Raumes a
•  Die Matrix einer Isometrie
• v u da u v fr alle u
• Abbildung orthogonale Projektion von w auf Kv
• T MB s T MB s
• T MB s T MB s MB s
• nach da f metrisch ist
• E Gn K M s B
• Rn bezglich u
•  Klassikation regulrer symplektischer Rume a a
• Klassikation regulrer symplektischer Rume a a
• Klassikation orthogonaler Rume a
• Beispiele fur regulre orthogonale a
• Orthogonale Gruppen Or r
• Or r T GLn t T nach und
• Lorentzgruppe wichtig in der Physik
• a b b a a b b a
• a b b a a b b a
• E V ist orthogonal
• T MB f ist orthogonal B
• E V f orthogonal
•  Geometrische Bedeutung in Dimension
• Geometrische Bedeutung falls dimR V
• MB f f nach B
• a a b a Sei V
• R T O R T R
• R fr die die Matrix u
• R Bx Man bestimme eine
• Man untersuche ob B invertierbar ist
• mit r dimK bild f
• Diagonalisierbare Endomorphismen und Matrizen
• Eigenwerte und Eigenvektoren
• Kriterium fur Diagonalisierbarkeit
• mit n K n
•  Wann sind Eigenvektoren linear unabhngig a
• Wann sind Eigenvektoren linear unabhngig a
• v k vk mit k K
• k v k vk
• k k k k k
• Charakteristisches Polynom eines Endomorphismus
• Charakteristisches Polynom einer Matrix
• A x detA xEn
• das charakteristische Polynom von A
•  Nullstellen des charakteristischen Polynoms
• Spur A det A
• Nullstellen des charakteristischen Polynoms
• x und f x det x x
• f x hat keine Nullstelle in
• Dimension eines Eigenraums
• Hauptsatz uber Diagonalisierbarkeit
• n B MB f
• R deniert durch
• f e e und f e e e
• f x detA xE ist zweifacher Eigenwert
• E V ein Endomorphismus Dann ist quivalent a
• C jeder Endomorphismus von V trigonalisierbar
• mit n K n
• a an A
• E V Kw E U
• E aj w j n
• E aj w anj wn j n
• x a an A xEn
• falls x yi falls x yi
• K R oder C und sei
• falls v w V
• C mit x y R
• E V heißt selbstadjungiert bzgl
• f v w v f w
• Hermitesche und symmetrische Matrizen
• T AT mit T MB idV B n
• Man untersuche ob f
• E a c a b c a c
• f B f A MB f f
• ist eine Basis von
• und B MB f
• v v v v u u
• bilden eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
• Tabelle mit Normalformen von Matrizen
• n m vgl Rang char Polynom
• Eigenwerte mit Vielfachheit
• B T AT mit T GLn K
• vgl Fr K u
• Dimension von Eigenrumen a
• n Eigenwerte mit Vielfachheit vgl b
• n Eigenwerte mit Vielfachheit vgl a
• B Matrix MB f Diagonalgestalt hat
• Aufgabe Man zeige dass die
• E a c b a c
• E a b a b c b c
• Einige Grundbegrie der Algebra
• Beispiel Sei M und sei
• Die kanonische Abbildung von V auf VU
• Die Abbildung V mit kern U
• V U kommutiert
•  Beispiele fur Gruppen
• Beispiele fur Gruppen
• E n bijektiv
• Die symmetrische Gruppe Permutationsgruppe
• Abbildung Gleichseitiges Dreieck
• Drehung um Grad
• Die allgemeine lineare Gruppe GLV f V
• E V f Automorphismus
• Gruppenordnung Gruppenanzahl bis auf Iso davon nicht abelsch
• Ubersicht bis zur Ordnung ohne Primzahlordnungen
• z z ist eine Untergruppe von Multiplikation vgl
• Z dann gibt es ein n Z
• k nk kn n n H
•  Homomorphismus von Gruppen wobei i sei Die Matrizen
• H E i j k H
• Homomorphismus von Gruppen
• E K K A E det A
• R R versehen mit Addition
• R x und bild y Z Z
• E exp z Dann gilt
• exp z exp w z w i
• Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen
• Isomorphismus von Gruppen
• a b b c c a vgl
• a c b a c b
•  Die Ordnung von Gruppenelementen
• Die Ordnung von Gruppenelementen
• Die von einem Element erzeugte Untergruppe
• Satz von Lagrange
• Gruppen von Primzahlordnung
• G e a ap
• Erzeugung von Gruppen
• von den beiden Matrizen a und b
•  Klassikation der zyklischen Gruppen
• Klassikation der zyklischen Gruppen
• Satz Jede zyklische Gruppe ist isomorph zu
• aba a b a e also aba kern
• H Ha aH Ha
• f V kern f
• Der Begri des Ringes
• Der Begri einer K Algebra
•  Operationen von Gruppen auf Mengen
• Operationen von Gruppen auf Mengen
• Aner Raum additives Beispiel
•  Es ist P Q QR P R denn
• Bahn und Stabilisator
• g g x g g x
• Es gilt gGx g Gx g gGx
• die Menge der ganzen Zahlen in
• Z die Menge der reellen Zahlen in R
• a a in GL a
• die Menge der Matrizen der Form
• Euklidische Rume und Bewegungen a
• RVektorraum der mit einem
• v v die Lnge von v vgl a
• Lemma uber orthogonale Abbildungen
• Lemma Jede Abbildung f V
• Rlinear und daher orthogonal gemß a
• R Fr alle u V u
• Bewegungen von V
• E V ist injektiv denn
• v w v w v w v w
• Bewegungen die den Nullvektor festlassen
• E V orthogonal
• E V eine Bewegung so ist die Abbildung
•  Wie sieht eine Bewegung aus
• v und analog f v f w
• Wie sieht eine Bewegung aus
• Beweis Nach ist f t orthogonal t f
• f ist surjektiv
• Reelle orthogonale Gruppen
• On A GLn tAA En
• In haben wir die orthogonale Gruppe
• Fixpunkte orthogonaler Abbildungen
• MB f orthogonal B
•  Drehungen der Ebene
• A beschreibt eine Drehung per Standardabbildung A SO
• Abbildung Untervektorraum U
•  Drehungen des Raumes
• det A det C det D
• Orientierung und Bewegungen
• Die Bewegungsgruppe der Ebene E
• E P w das ist eine Parallelverschiebung um
•  Die Bewegungsgruppe der Ebene
• Die Bewegungsgruppe von
• R wird erzeugt von den Translationen tw
• x x a x x a
• Zum Beweis von
•  Zum Beweis von
• AR Betrachte die beiden
• Drehungen um und Spiegelungen an Geraden durch
• Sei B die Standardbasis von
• R dann sind R
• Abbildung Spiegel und Drehsymmetrie
• Die endlichen Untergruppen von O
• Die endlichen Untergruppen der Bewegungsgruppe G von E
• Endliche Untergruppen der Drehgruppe von
•  Endliche Untergruppen der rumlichen Drehgruppe a
• R x x x
• E S p f E f p
• Euklidische Rume a
• Rn zu einem euklidischen
• Quadratische Formen und Quadriken
• E K v w E v w
• Der Begri einer quadratischen Form
• E K eine symmetrische
• qv qB y yn
• wobei MB s bij mit bij wi wj
• fr i j u fr i j u
• x E x xn A xn
• x n xn
• x y E S xn yn
• Rn und passenden i R
• i yi da C MC f C
• x x a a a x x
• Also lsst sich schreiben als a
• y y b y b y a
• Sind beide negativ dann ist
• wobei jeweils b b b sind
• Beispiel zur Hyperbel
• R und C w w dann folgt
• x x x x x x
• Es folgt y y
• Insbesondere ist eine Hyperbel
• Jordansche Normalform von C Wahl
• Die Jordansche Normalform
• N mit N k Dann
• B diage t en t
• Teilbarkeitseigenschaft des charakteristischen Polynoms
•  Satz von CayleyHamilton
• Satz von CayleyHamilton
• Verallgemeinerte Eigenrume a
•  Verallgemeinerte Eigenrume a
• ist Daraus folgt
• gi f hi f id
• bildgi f hi f V
• dimK Vi dimK V
• Normalform nilpotenter Endomorphismen
• N so dass uk Dann
• B MB u mit Beweis Sei q Sei
• N minimal mit uq und u id
• Ei kern ui i q
•  Normalform nilpotenter Endomorphismen
• Ane Rume und ane Abbildungen a
• Abbildung v pq
• E Y durch Angabe
• Beispiele fur ane Abbildungen
• E heißt Translation wenn idV pq pq
• Ane Unterrume a
• Beispiele fur ane Unterrume a
• E Y p E p W Y
• mit eindeutig bestimmten i K
• p i i p p
• Ane Unterrume und Schwerpunkte a
•  Bemerkung zum Hauptsatz der anen Geometrie
• Bemerkung zum Hauptsatz der anen Geometrie
• Projektive Rume und Projektivitten a a
• Der projektive Raum
• PnK den ndimensionalen pro
• Bemerkung Man hat eine Abbildung V
• Abbildung Gerade durch
• Beispiele zur Homogenisierung
• R die parallelen Geraden
• x y x y xy
• Abbildung Drei parallele Geraden
• PR Die Geraden haben PK einer
• Projektive Geraden in
• Es ist also L x x x
• PK ax bx cx P
• Projektive Unterrume in a
• dim dim dim
• Satz Sei dimK V Dann gelten
• Zwei projektive Geraden in Beweis
• PK schneiden sich stets
• Projektiver Abschluss von
• Sei V K n Betrachte die Abbildung
• E x xn Kv
• y y yn
• y yn y yn y y y y
• E W gibt mit P P
• PW eine Projektivitt so ist eine Kollineation a
•  Weitere Beispiele zur Homogenisierung
• Weitere Beispiele zur Homogenisierung
• PnK by ay anyn
• PnK Man setze
• yi fr alle i n u y
• Ubergang vom Projektiven ins Ane
• A PV H ein A H
• PR x x Dann ist QH ein Punkt
• E x x x
• eine Parabel Die Substitution x z
• ergibt x z
• Explizite Beschreibung von Projektivitten a
• E K n x x n
• und x vgl Die Abbildung
• E y y n
• i wi mit i K und i n
• Das Doppelverhltnis a
• P P und P
•  Das Doppelverhltnis a
• P P ii PU PU PV
• i U U
• P U P
• Abbildung Zentralprojektion Satz Die Zentralprojektion U
• PU ist eine Projektivitt a
• lineare Abbildungen von KVektorrumen a
• E W heißt linear falls gilt
• Zum Hauptsatz der projektiven Geometrie
• E W mit P P
• Behauptung Ist ein Automorphismus von
• Q so ist id
• Satz von Desargues
• Satz von Pappos
• Synthetischer Aufbau der projektiven Geometrie
• Das Vektorprodukt im
• R mit dem StandardSkalarprodukt versehen und sei
• e e e
• R und R gilt
• Geometrische Eigenschaften des Vektorprodukts
• a Fr x y z u
• und also gilt
• x y cos x y sin
• xR yS eR eS
• Die ußere Algebra eines K Vektorraums a
•  Ein neues Kriterium fur lineare Abhngigkeit a
• Beweis Fr v u vv
• i ei mit i K gilt
• Ein neues Kriterium fur lineare Abhngigkeit a
• Ein Kriterium fur Untervektorrume a
• u up u up mit
• ai aip p
•  Die ußere Potenz a
• Die ußere Potenz p V a
• n Teilmengen mit p Elementen p
• CauchySchwarzsche Ungleichung charakteristisches Polynom Cramersche Regel Darstellungsmatrix

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