Darstellungstheorie und homologische Algebra

Hohere Algebra: Darstellungstheorie und homologische Algebra ¨

Wintersemester 2010/11 Christoph Schweigert Universit¨t Hamburg a Fachbereich Mathematik Bereich Algebra und ahlentheorie

(Stand: 2.2.2011)

Inhaltsverzeichnis

1 Moduln uber Ringen ¨ 1.1 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . 1.2 Operationen auf Moduln, das Tensorprodukt . . 1.3 Freie Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Projektive, flache, teilbare und injektive Moduln 1.5 Einfache Moduln und Kompositionsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 14 21 25 33 40 40 45 55 61 63

2 Kategorien, Funktoren und naturliche Transformationen ¨ 2.1 Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Universelle Eigenschaften und adjungierte Funktoren . . . 2.3 Abelsche Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Freie und kofreie Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Pullback und Pushout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Moduln uber Hauptidealringen 67 ¨ 3.1 Untermoduln und Morphismen von Moduln uber Hauptidealringen . . . . . . . 67 ¨ 3.2 Klassifikation von Moduln uber Hauptidealringen . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ¨ 4 Darstellungstheorie 4.1 Halbeinfache Ringe und Kategorien 4.2 Strukturtheorie halbeinfacher Ringe 4.3 Fouriertransformation f¨r Gruppen u 4.4 Charaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 77 84 87 91

5 Artinsche und Noethersche Moduln 101 5.1 Noethersche Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2 Artinsche Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6 Auflosungen und abgeleitete Funktoren ¨ 6.1 Projektive und injektive Aufl¨sungen . . . o 6.2 Homologie und Homotopie . . . . . . . . . 6.3 Das Fundamentallemma der homologischen 6.4 Die lange exakte Sequenz . . . . . . . . . . 6.5 Tor und Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Symmetrie von Tor und Doppelkomplexe . 6.7 Erweiterungen von Moduln . . . . . . . . . 108 . 109 . 111 . 114 . 117 . 121 . 123 . 127

. . . . . . . . . . Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 Gruppenkohomologie 7.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Funktorialit¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7.3 Die Bar-Aufl¨sung . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7.4 Gruppenkohomologie und Gruppenerweiterungen A Das ornsche Lemma

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132 . 132 . 135 . 137 . 139 142

Literatur:

Literatur, die ich bei der Vorbereitung h¨ufig herangezogen habe: a Wolfgang Soergel, Skript zur Vorlesung Algebra, erh¨ltlich unter a http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/ Tilman Bauer, Skript zur Vorlesung Homologische Algebra, erh¨ltlich unter a http://wwwmath.uni-muenster.de/u/tbauer/Homologische-Algebra/index.html Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra, Springer, 2006 Peter J. Hilton, Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer Graduate Texts in Mathematics, 1997 Kenneth S. Brown: Cohomology of groups, Springer Graduate Texts in Mathematics, 1982 Charles Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1995 Anthony Knapp, Advanced Algebra, Birkh¨user Cornerstones, Boston, 2007 a Saunders MacLane, Categories for the Working Mathematician, Springer Graduate Text in Mathematics 5, 1971. Die aktuelle Version dieses Skriptes finden Sie unter http://www.math.uni-hamburg.de/home/schweigert/ws10/skript.pdf als pdf-Datei. Bitte schicken Sie Korrekturen und Bemerkungen an schweigert@math.uni-hamburg.de! Herrn Thomas Nikolaus danke ich f¨r zahlreiche Hinweise zum Skript, Diskussionen und Mitaru beit an den Musterl¨sungen. Den Hamburger Studierenden Pascal Gollin, Johannes Lederich, o David Lindemann, Nils Matthes, Christoph Nehring und Cora Welsch danke ich f¨r Hinweise u zum Skript.

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1.1

Moduln uber Ringen ¨

Grundlegende Definitionen

Ringe werden in dieser Vorlesung eine zentrale Rolle spielen. Wir wiederholen daher einige Begriffe: Definition 1.1.1 (i) Ein Ring ist eine additiv geschriebene abelsche Gruppe (R, +) zusammen mit einer Abbildung R×R → R (x, y) → xy ≡ x · y , genannt Multiplikation, f¨ r die das Assoziativgesetz u (xy)z = x(yz) und zwei Distributivgesetze gelten: (x1 + x2 ) · y = x1 · y + x2 · y und x · (y1 + y2 ) = x · (y1 + y2 ) f¨ r alle x, y, z ∈ R u

f¨ r alle x, xy , x2 , y, y1 , y2 ∈ R. Man beachte, dass (M, ·) ein assoziatives Monoid ist. u (ii) Ein Ring mit Eins (oder unit¨rer Ring) ist ein Ring mit einem Einselement 1 ∈ R, so a dass 1 · x = x · 1 = x f¨ r alle x ∈ R gilt. u (iii) Ein Ring (R, +, ·) heißt kommutativ , wenn das Monoid (R, ·) abelsch ist, also f¨ r alle u x, y ∈ R die Gleichung x · y = y · x gilt. (iv) Sind R, S Ringe, so ist ein Ringhomomorphismus R → S eine Abbildung f : R → S, die sowohl die Struktur einer abelschen Gruppe als auch die eines Monoids auf R und S respektiert: f (x + y) = f (x) + f (y) und f (xy) = f (x) f (y) f¨ r alle x, y ∈ R . u

Im Falle unit¨rer Ringe fordern wir zus¨tzlich f¨ r Ringmorphismen a a u f (1R ) = 1S . Wir bezeichnen die Menge aller Ringhomomorphismen mit Hom(R, S). Unter einem Ring verstehen wir in dieser Vorlesung grunds¨tzlich einen assoziativen, nicht a unbedingt kommutativen Ring mit Eins. Beispiele 1.1.2. Wichtige Beispiele f¨r Ringe sind: u 1. Der Ring der ganzen ahlen (und allgemeiner der Ring der ganzen ahlen in einem algebraischen ahlk¨rper). o 2. K¨rper wie die rationalen ahlen Q, die reellen ahlen R oder die komplexen ahlen C o sind insbesondere (kommutative) Ringe. 3. F¨r jeden kommutativen Ring R ist der Polynomring R[ ] ein Ring; mehr dazu sp¨ter. u a 1