Differentialgleichungen

• Titel: Differentialgleichungen
• Organisation: UNI BAYREUTH
• Seitenzahl: 126

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Inhalt

• Numerische Mathematik II Dierentialgleichungen
• Allgemeine Theorie der Einschrittverfahren
• Extrapolationsverfahren Theoretische Grundlagen Algorithmische Umsetzung iii
• Konvergenz und Approximationsbegrie Schwache Approximation des WienerProzesses
• Partielle Dierentialgleichungen Die Wrmeleitungsgleichung a Finite Elemente
• KAPITEL GEWOHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
• schreiben wir oft kurz xt
• Ein Existenz und Eindeutigkeitssatz
• Grasche Darstellung der Losungen
• Erste einfache Einschrittverfahren
• xt xt t xt t t t
•  ALLGEMEINE THEORIE DER EINSCHRITTVERFAHREN
• t t h t h t h
• t x h f t x
• lim t x h f t x
• t x h t x h
•  TAYLORVERFAHREN mit L
• u aij kj fr i s
• deutscher Mathematiker deutscher Mathematiker und Ingenieur
• bi ki t x f t x
• gilt genau dann wenn
• bi aij ci cj bi aij ajk ck
• bi aij c j
• d f x f x dx
• gelten was wegen der angenommen Autonomieinvarianzbedingung
• fr i s u
• i j ki s j ail kl l
• Im impliziten Fall erhalten wir hki
• Schrittweitenberechnung und adaptiver Algorithmus
• tol bzw allgemeiner durch
• b bestimmen Aus erhalten wir c
• das Integral durch die Mittelpunktregel
• f t xtdt hf ti xti
•  MEHRSCHRITTVERFAHREN iii Es gilt
• bj j l fr l p u
• mit der Konvention
• Lx h Pa Ext hPb Ext
• bj j l hl Ohp
• Aus i wissen wir Lexp h Ohp weswegen
• aj j l hl xl t
• a k ak
• Fr yi gilt u
• h L bm h tlm m l
•  MEHRSCHRITTVERFAHREN also die gewnschte Behauptung u
• Verfahren in der Praxis
• Zufallsvariablen und Zufallszahlen
• KAPITEL STOCHASTISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
•  ZUFALLSVARIABLEN UND ZUFALLSZAHLEN
• fr i N u N
• ist wobei B x x B x B
•  oder auch als
• Der approximative WienerProzess
• Erwartungswert und Varianz
• fr diskrete und analog u E
•  KONVERGENZ UND APPRO IMATIONSBEGRIFFE
• Konvergenz und Approximationsbegrie
• lim Eg T g i T
• lim Eg T Eg i T
• lim E T E i T
• lim E i T E T
• lim E T i T
• Eg T Eg i T
• xpg xdx xpg xdx
• Schwache Approximation des WienerProzesses
• Also ergibt sich
• EWk EW ti
•  STOCHASTISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN i
• japanischer Mathematiker oft auch It geschrieben o
• dW t W t W t
• d t at t dt
• d t at tdt
• bj t tdW j t
• Das stochastische EulerVerfahren
• Die stochastische TaylorEntwicklung
• at tt bt tW t
•  NUMERISCHE VERFAHREN schreiben
• dv s dv l sl dv l sl
• I t t hL kt
• I t t hL kt
• Verfahren vom RungeKuttaTyp
• Die Wrmeleitungsgleichung a
• KAPITEL PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
• approximieren Die zugehrige Integrationsregel o
• xi xi f xi f xi
• mit eindeutigen Koezienten i mit i und
• i f xi yi a
• und analog fr f y u
• i x xi i x xi
• f xi yi x f x y x
• denn es gilt
• und zum anderen f x y x
• Es bleibt also zu zeigen dass
• dx dy a a AE
• dx dy AEa a
• f T B T Bf AE
• Diese Berechnungen fhren auf den folgenden Satz u
• Die Wrmeleitungsgleichung als Integralgleichung a
• Approximation auf den Finiten Elementen
• T u Sj uj j
• Denieren wir schließlich
•  APPRO IMATION AUF DEN FINITEN ELEMENTEN
•  KONVERGENZBEWEIS die Ungleichung a a a a
• gilt die Ungleichung
• fr eine vom Gitter unabhngige Konstante u a
•  KONVERGENZBEWEIS Aus erhalten wir nun die Ungleichung
• fneu Japp v uf
• also v uf und damit die Behauptung

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