- Titel: Differentialgleichungen in der Wirtschaftsmathematik
- Organisation: UNI DORTMUND
- Seitenzahl: 89
Inhalt
- Bedingter Erwartungswert
- Stochastische Prozesse in stetiger Zeit
- Stochastische Prozesse
- Filtration
- Stoppzeiten
- Martingale
- Brownsche Bewegung
- Poisson-Prozess
- Markov-Prozesse
- Definition von Markov-Prozessen
- Markov-Prozesse mit abzählbarem Zustandsraum
- Kolmogorovsche Differentialgleichung
- Riemann-Stieltjes Integral
- Thiele’sche Differentialgleichungen
- Reguläres Versicherungsmodell
- Deckungskapital
- Stochastisches Integral
- Konstruktion des stochastischen Integrals
- Die Itô-Formel
- Stochastische Differentialgleichungen
- Problemformulierung
- Existenz und Eindeutigkeit
- Starke Markoveigenschaft
- Generator
- Fokker-Planck-Gleichung
- Feynman-Kac-Formel
- Black-Scholes Differentialgleichung
- Optionen
- Herleitung der Black-Scholes Gleichung
- Herleitung mit Hilfe des Duplikationsprinzips
- Herleitung mit Hilfe der risikoneutralen Bewertung
- Eigenschaften der Black-Scholes Gleichung
- Exkurs
- Amerikanische Optionen und freie Randwertprobleme
- Exkurs
- Asiatische Optionen
- Die Monte-Carlo-Methode
- Das Euler-Maruyama Verfahren
- Das Milstein-Verfahren
- Stochastische Steuerung und Hamilton-Jacobi-Bellman Differentialgleichung
- Problemformulierung
- Konzept der dynamischen Programmierung
- Ein Verifikationstheorem
- Portfolio-Optimierung
- Unendlicher Zeithorizont
- Portfolio-Optimierung
- Stoppen des gesteuerten Prozesses
- Portfolio-Optimierung
- Literaturverzeichnis
Vorschau
Differentialgleichungen in der Wirtschaftsmathematik
Skript zur Vorlesung im Wintersemester 2010/11 an der TU Dortmund
PD Dr. Flavius Guia¸ s
2. Februar 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Bedingter Erwartungswert 2 Stochastische Prozesse in stetiger eit 2.1 Stochastische Prozesse . . . . . . . . . 2.2 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Stoppzeiten . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . 2.6 Poisson-Prozess . . . . . . . . . . . . . 3 5 . 5 . 6 . 7 . 8 . 8 . 10
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3 Markov-Prozesse 12 3.1 Definition von Markov-Prozessen . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Markov-Prozesse mit abz¨hlbarem ustandsraum . . . . . . . 13 a 3.3 Kolmogorovsche Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . 14 4 Riemann-Stieltjes Integral 17
5 Thiele’sche Differentialgleichungen 21 5.1 Regul¨res Versicherungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 a 5.2 Deckungskapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6 Stochastisches Integral 28 6.1 Konstruktion des stochastischen Integrals . . . . . . . . . . . . 28 6.2 Die Itˆ-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 o 7 Stochastische Differentialgleichungen 7.1 Problemformulierung . . . . . . . . . 7.2 Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . 7.3 Starke Markoveigenschaft . . . . . . . 7.4 Generator . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Fokker-Planck-Gleichung . . . . . . . 7.6 Feynman-Kac-Formel . . . . . . . . . 1 36 36 37 37 38 40 40
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8 Black-Scholes Differentialgleichung 8.1 Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Herleitung der Black-Scholes Gleichung . . . . . . . . . . . 8.2.1 Herleitung mit Hilfe des Duplikationsprinzips . . . 8.2.2 Herleitung mit Hilfe der risikoneutralen Bewertung 8.3 Eigenschaften der Black-Scholes Gleichung . . . . . . . . . 8.3.1 Exkurs: Die eindimensionale Diffusionsgleichung . . 8.4 Amerikanische Optionen und freie Randwertprobleme . . . 8.4.1 Exkurs: Das Hindernisproblem . . . . . . . . . . . . 8.5 Asiatische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Die Monte-Carlo-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Das Euler-Maruyama Verfahren . . . . . . . . . . . 8.6.2 Das Milstein-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Stochastische Steuerung und Hamilton-Jacobi-Bellman Differentialgleichung 9.1 Problemformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Konzept der dynamischen Programmierung . . . . . . . . . . . 9.3 Ein Verifikationstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Portfolio-Optimierung: Optimaler Konsum und optimales Endverm¨gen bei endlichem eithorizont . . . . . . . . . . . . . . o 9.5 Unendlicher eithorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Portfolio-Optimierung: Optimaler Konsum bei unendlichem eithorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Stoppen des gesteuerten Prozesses . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8 Portfolio-Optimierung: Portfolio-Versicherung . . . . . . . . . Literaturverzeichnis
69 69 72 74 78 81 83 84 86 88