Einführung in die Finite Elemente Methode

• Titel: Einführung in die Finite Elemente Methode
• Organisation: TU DORTMUND
• Seitenzahl: 302

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Inhalt

• Einleitung
• Der Fachwerkstab
• Die Grundgleichungen für den Fachwerkstab
• Einführung und Modellproblem
• Kinematik
• Spannungen
• Konstitutive Beziehungen
• Gleichgewicht am Fachwerkstab
• Randwertproblem für das Fachwerksystem
• Differentialgleichung für den Fachwerkstab
• Randbedingungen am Fachwerksystem
• Übergangsbedingungen zwischen Fachwerkstäben
• Zur analytischen Lösung des Randwertproblems
• Ausgewählte analytische Lösungen für das Fachwerksystem
• Motivation und Aufgabenstellung
• Berechnung der Auflagerkräfte
• Berechnung der Stabkräfte
• Zusammenstellung der Ergebnisse
• Das Prinzip der virtuellen Arbeit für das Fachwerk
• Zur Bedeutung der virtuellen Arbeit
• Mechanische Arbeit und mechanische Leistung
• Virtuelle Verschiebung und virtuelle Arbeit
• Das Prinzip der virtuellen Verrückungen
• Das Prinzip der virtuellen Arbeit für den Fachwerkstab
• Das Prinzip der virtuellen Arbeit für das Fachwerksystem als Ganzes
• Die äußere virtuelle Arbeit
• Die innere virtuelle Arbeit
• Die virtuelle Arbeit am Gesamtsystem
• Matrizendarstellung der Mechanik des Fachwerkes
• Matrixform der Grundgleichungen des Stabes
• Darstellung im reduzierten lokalen Koordinatensystem
• Darstellung im vollständigen lokalen Koordinatensystem
• Transformation auf das globale Koordinatensystem
• Direkte Transformation auf das globale Koordinatensystem
• Koordinatentransformation der virtuellen Verschiebung
• Matrixform der virtuellen Arbeit
• Zusammenstellung der Mechanik des Fachwerkstabes
• Die Gleichgewichtsbedingung
• Innere virtuelle Arbeit in Matrixform
• Äußere virtuelle Arbeit in Matrixform
• Das Prinzip der virtuellen Arbeit in Matrixform
• Das numerische Berechnungsverfahren
• Datenvorverarbeitung oder Preprocessing
• Lokale und globale Knotennummern
• Globale Knotenverschiebungsvektoren
• Aufbau und Lösung der Strukturgleichung
• Ausgangspunkt
• Herleitung der globalen Systemgleichung
• Interpretation der Systemgleichung
• Singuläre Steifigkeitsmatrizen
• Einbau der Randbedingung
• Lösen des Gleichungssystems
• Nachbearbeitung oder Postprocessing
• Berechnung der Schnittgrößen
• Berechnung der Reaktionskräfte
• Prinzipielle Vorgehensweise bei FE-Berechnungen
• Ein detailliertes Beispiel
• Zerlegung des Gesamtsystems
• Bestimmung der Elementsteifigkeitsmatrizen
• Bestimmung der Systemsteifigkeitsmatrix
• Verwendung von Booleschen Matrizen
• Verwendung von Inzidenztabelle und Indexschema
• Erläuterung der Vorgehensweise
• Vorgehensweise im Computerprogramm
• Einbau der Randbedingungen
• Lösen des Gleichungssystems
• Rückrechnung
• Auflagerreaktionen
• Schnittkräfte
• FEMSTAB – Ein Beispiel für ein FEM-Programm
• Eingabefile
• Aufbau und Lösung des Gleichungssystems
• Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix
• Aufstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix
• Einführung der Randbedingungen
• Berechnung der unbekannten Knotenverschiebungen
• Rückrechnung
• Lagerreaktionen
• Schnittkräfte
• Der Dehnstab
• Die Grundgleichungen für den Dehnstab
• Einführung und Modellproblem
• Annahmen und Bezeichnungen
• Gebiet und Rand
• Kinematik
• Spannungen
• Konstitutive Beziehungen
• Das Hookesche Gesetz
• Das Wärmedehnungsgesetz
• Das thermo-mechanische Werkstoffgesetz
• Gleichgewicht am Dehnstabelement
• Randwertproblem für ein System von Dehnstäben
• Differentialgleichung für den Dehnstab
• Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen
• Zur analytischen Lösung des Randwertproblems
• Ausgewählte analytische Lösungen für den Dehnstab
• Problemstellungen bei konstanter Dehnsteifigkeit
• Stab unter Einzellast
• Stab unter Eigengewicht
• Stab unter dreiecksförmiger Belastung
• Stab unter beliebiger Linienlast
• Problemstellungen mit variabler Dehnsteifigkeit
• Stab mit linearer Dehnsteifigkeit unter Linien- und Einzellast
• Stab mit allgemeiner Dehnsteifigkeit und Linienlast
• Die schwache Form des Gleichgewichts für den Dehnstab
• Herleitung der schwachen Form
• Integrale Formulierung der Differentialgleichung
• Integrale Formulierung der Randbedingungen
• Schwache Form des Gleichgewichts
• Erläuterung des Begriffs der schwachen Form
• Schwache Lösung versus starke Lösung
• Beziehung zwischen schwacher Form und virtueller Arbeit
• Die Energieprinzipien für den Dehnstab
• Arbeit und Energie
• Innere und äußere Energie
• Das Dirichlet-Prinzip
• Bedeutung und Berechnung der Variationen
• Erste und zweite Variation eines Funktionals
• Erste Variation des Energiefunktionals
• Zweite Variation des Energiefunktionals
• Mathematische Elastizitätstheorie für den Dehnstab
• Mathematisch orientierte Notation
• Wahl des Lösungs- und Testraums V
• Linear- und Bilinearformen und deren Eigenschaften
• Die Variationsformulierung
• Mathematische Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen
• Das Randwertproblem
• Die Variationsaufgabe
• Das Minimalprinzip
• Lösungseigenschaften bei Variationsaufgaben
• Existenz- und Eindeutigkeit der Lösung
• Stabilität der Lösung
• Regularität der Lösung
• Äquivalenz der Gleichgewichtsbedingungen
• Äquivalenz von Randwertproblem und Variationsaufgabe
• Äquivalenz von Minimalprinzip und Variationsaufgabe
• Äquivalenz von Randwertproblem und Minimalprinzip
• Diskretisierung des Dehnstabes mit finiten Elementen
• Grundidee der Methode der finiten Elemente
• Zerlegung des Gebietes in finite Elemente
• Diskretisierung der Verschiebung
• Vorbemerkungen
• Ansatzfunktionen
• Konstruktion der Ansatzfunktionen im Element
• Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung
• Diskretisierung der schwachen Form
• Zerlegung in Element- und Knotenanteile
• Elementsteifigkeitsmatrix und Elementlastvektor
• Knotenlastvektor
• Globale Systemgrößen
• Sonderfall Einzelstab
• Zusammenfassung zur diskretisierten schwachen Form
• Erweiterte Elementformen für den Dehnstab
• Stabelement unter einer Trapezlast
• Stabelement mit einem konischen Querschnitt
• Steifigkeitsmatrix
• Äquivalente Knotenkräfte
• Stabelement mit quadratischem Verschiebungsansatz
• Approximation der Verschiebungen
• Approximation der Verzerrungen
• Elementsteifigkeitsmatrix für quadratische Ansätze
• Elementlastvektor
• Mathematische Analyse der Finite Elemente Methode beim Dehnstab
• Ausgangspunkt
• Die FEM als Ritz-Galerkin-Verfahren
• Das klassische Ritz-Verfahren
• Das klassische Galerkin-Verfahren
• Ausgewählte numerische Lösungen für den Dehnstab
• Details des Berechnungsverfahrens
• FE-Modell
• Berechnung der Verschiebungen
• Steifigkeitsmatrizen
• Lastvektoren
• Reduziertes System
• Lösen des Gleichungssystems
• Rückrechnung
• Auflagerkräfte
• Verzerrungen
• Spannungen
• Dehnstab mit adaptiver Berechnung
• Modellproblem und analytische Lösung
• Ergebnisse für wenige Elemente
• Die h-Methode
• Die p-Methode
• Die h-p-Methode
• Die r-Methode
• Der Biegebalken
• Die Grundgleichungen für den Biegebalken
• Einführung und Modellproblem
• Grundlegendes zur Balkentheorie
• Modellproblem
• Annahmen und Bezeichnungen
• Gebiet und Rand
• Kinematik
• Spannungen
• Konstitutive Gleichungen
• Das Hookesche Gesetz
• Das Wärmedehnungsgesetz
• Das thermo-mechanische Werkstoffgesetz
• Schnittgrößen
• Gleichgewicht am Balkenelement
• Die Randwertprobleme für den Biegebalken
• Das Randwertproblem für schubsteife Balken
• Das Randwertproblem für schubstarre Balken
• Zur analytischen Lösung der Randwertprobleme
• Deformation des Balkens infolge von Querkraft
• Herleitung der wahren Schubspannungen
• Herleitung der gemittelten Schubspannungen
• Herleitung der Schubfläche und des Schubkorrekturfaktors
• Ausgewählte analytische Lösungen für den Biegebalken
• Modellproblem
• Analytische Lösung für die schubstarre Theorie
• Lösung für Trapezlast, Einzelast und Einzelmoment
• Lösung für eine gelenkige Lagerung am Balkenende
• Analytische Lösung für die schubsteife Theorie
• Lösung für Trapezlast, Einzellast und Einzelmoment
• Lösung für eine gelenkige Lagerung am Balkenende
• Vergleich beider Balkentheorien
• Vergleich für ein statisch bestimmtes Modellproblem
• Die schwache Form des Gleichgewichts für das Balkensystem
• Schwache Form für schubsteife Balken
• Schwache Form für schubstarre Balken
• Die Energieprinzipien für den Biegebalken
• Diskretisierung des Biegebalkens mit finiten Elementen
• Grundidee der Methode der finiten Elemente
• Zerlegung des Gebietes
• Diskretisierung der Deformation
• Wahl der Knotenfreiheitsgrade
• Lineare Ansatzfunktionen
• Lineare Ansätze für Durchbiegung und Verdrehung
• Kubisch-Hermite Ansatzfunktionen
• Kubischer Ansatz für die Durchbiegung
• Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung
• Die Verzerrungen im schubsteifen Balkenelement
• Die Verzerrungen im schubstarren Balkenelement
• Diskretisierung der schwachen Form
• Knotenbeiträge zur äußeren virtuellen Arbeit
• Elementbeiträge für schubsteife Balkenelemente
• Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix
• Herleitung des Elementlastvektors
• Elementbeiträge für schubstarre Balkenelemente
• Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix
• Herleitung des Elementlastvektors
• Bestimmung der numerischen Lösungen
• Erweiterte Elementformen für den Biegebalken
• Selektive numerische Integration
• Selektive reduzierte Integration beim Timoshenko-Balken
• Reduzierte Integration zur Vermeidung von Locking
• Analysis der Finite Elemente Methode beim Biegebalken
• Darstellung konstanter Verzerrungen
• Modellproblem und analytische Lösung
• Defizite der numerischen Lösung
• Die potentielle Energie für den schubsteifen Biegebalken
• Die potentielle Energie der schubsteifen Theorie
• Grenzwertbetrachtung für schlanke Balken
• Einfluß der selektiven reduzierten Integration
• Ausgewählte numerische Lösungen für den Biegebalken
• Beziehung zwischen Theorie und Numerik
• Vergleich für die schubstarre Balkentheorie
• Vergleich für die schubsteife Balkentheorie
• Numerische Lösung für beide Balkentheorien
• Konvergenzstudie für ein statisch unbestimmtes System
• Approximation der Momentenverläufe
• Der Locking-Effekt beim Timoshenko-Balken
• Das numerische Phänomen
• Entwurf eines ersten numerischen Experimentes
• Auswertung des ersten numerische Experimentes
• Eine effektive Gegenmaßnahme
• Entwurf eines zweiten numerischen Experimentes
• Auswertung des zweiten numerischen Experimentes
• Maßnahmen zur Vermeidung des Locking-Effekts
• Die Methode der gemischten Elemente
• Das Hellinger-Reissner-Funktional
• Die schwache Form für gemischte Balkenelemente
• Das finite gemischte Balkenelement
• Approximation der Verschiebung und der Schnittkräfte
• Diskrete schwache Form der gemischten Methode
• Statische Kondensation auf Systemebene
• Statische Kondensation auf Elementebene
• Numerische Lösung für die gemischte Methode
• Das räumliche Tragsystem
• Mathematische Grundlagen der Mechanik
• Elemente der Linearen Geometrie
• Vektorräume und Abbildungen
• Der Rieszsche Darstellungssatz
• Elemente der Funktionalanalysis
• Das Lebesgue-Integral
• Schwache Differenzierbarkeit von Funktionen
• Grundbegriffe der Funktionalanalysis
• Elemente der Variationsrechnung
• Ein kleiner Exkurs in die Variationsrechnung
• Elemente der Numerik
• Rundungsfehler und Fehlerfortpflanzung
• Numerische Integration
• Notation und Literatur
• Liste der Symbole
• Literaturhinweise
• Grundlagen aus Mathematik und Mechanik
• Grundlagenlehrbücher zur Mathematik
• Höhere Mathematik für Ingenieure
• Numerische Mathematik
• Nachschlagewerke zur Mathematik
• Grundlagenlehrbücher zur Mechanik
• Technische Mechanik
• Statik der Stab- und Flächentragwerke
• Lineare Finite Elemente Methode
• Vertiefung der Mathematik und Mechanik
• Vertiefung der mathematischen Grundlagen
• Vertiefung der mechanischen Grundlagen
• Vertieftes mathematisches Verständnis der Mechanik
• Literaturverzeichnis
• Index

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