Elementargeometrie

• Titel: Elementargeometrie
• Organisation: UNI POTSDAM

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Inhalt

• Lineare Algebra und analytische Geometrie I II
• Vorlesung von Prof C Br a
• Potsdam Wintersemester und Sommersemester Stand vom November
• Mengen und Abbildungen
• Kapitel Mengen und Abbildungen
• falls a gerade falls a ungerade Z
• Geometrie der Ebene Teil
• R und t R deniere
• Kapitel Geometrie der Ebene Teil x x
• t t x tt x x x
• t x y t x t y
• t t x t x t x
• Kapitel Geometrie der Ebene Teil
• x x y y x y
• x y Da die Funktion
• f t R t t R t t
•  Beweis Wir berechnen xy
•  und analog db q b q
• Fr x y nden wir u
• xy x y arccos
• Fr y x nden wir u
• Kapitel Geometrie der Ebene Teil Wir berechnen
• a a a b b b
• a c b a cos
• Das bzgl der Addition neutrale Element schreibe als
• inverse Element denieren wir durch x x
• x x x x x x
• x x x x x x
• Kapitel Krper o
• schreiben Das werden wir aber nicht tun
• und berechnen w w
• z w z w z w z w
• z w z w z w z w
• Rez Imz z Rez Imz Rez Imz
• Imz Imz Imz
• Rez Imz Rez
• da nach Voraussetzung Im
• Vc f V K f m
• f m f m f m f m
• V d V a V d V c
• Beispiele dann ist
• Sei K R V C und v i
• Sei K C V C und v i
• Daraus erhalten wir unmittelbar
• triviale Linearkombination dh j j k
• Kapitel Vektorrume a
• k K v vm M v mit v
• andernfalls nummeriert man die Vektoren um Dann ist
• j vj v v n vn v
•  M ist eine Basis von V
• w v erhalten
• Ist so ist
• j v j j v j
• j vj n vn v
• Somit ist also n und daraus folgt
• j j n
• Folglich sind v vn linear unabhngig a
• eine geordnete Basis von V und sei w
• j vj V mit r K Dann
• liebiger Vektor dann existieren r K mit v
• j vj Wegen
• Also erzeugt w v vr ganz V
• Summe von Untervektorrumen a
• j uj w w r W W r
• w w w w W W w w
• Kapitel Summe von Untervektorrumen a
•  b g G g g
• b Sei g G Es ist
• Kapitel Lineare Abbildungen
• v n vn v n vn n vn
• falls K sonst
• cos x sin y sin x cos y
• aj xj di
• int V W intf
• f tdt ist linear
• k vk n vn ker
• dim W dim im W im wegen Prop
• dim ker dim V dim im
• c M cl
• M M M M und andererseits
• Ane Unterrume und ane a Abbildungen
• Kapitel Ane Unterrume und ane Abbildungen a
• Ai entweder leer
• Ai dann whle ein v a
• A A Punkt A A Gerade
• W Untervektorraum von W
• v V v v W
• Untervektorraum von V
• Klineare Abb V W
• Die allgemeine lineare Gruppe
• Kapitel Die allgemeine lineare Gruppe
• ist invertierbar mit
• M n K Diagonalmatrix
• i A ei i ite Spalte von A
• ite Zeile jte Zeile
• Kapitel Lineare Gleichungsysteme
• cos v sin v sin v cos v
• cos v v cos v
• Im Fall v hat man folgende geometrische Interpretation
• cos sin sin cos
• S S e S v v v
• speziell M S M S M R
• JT e T e e o JT e
• v w w w
• da v w nach Vorraussetzung
• dann hat F genau einen
• A Zu zeigen v
• cos sin sin cos
• sind linear unabhngig a
• T T x T b b
• Bemerkung J v heißt Normalenvektor an Gpv
• x x R x R ax bx c
• r x R x m x m r
• t p m v t p m
• Gpv m r Kr m
• p m Kr m Gpv
• Wie fr ZweiSehnenSatz u
• Also ist C ein fehlerkorrigierender Code
• die Kontrollmatrix eines vierdimensionalen fehlerkorrigierenden Codes
• v spanF vk vn y
• Matrixdarstellung linearer Abbildungen
• ein Isomorphismus Beweis
• Element von V in der Form
• xi bi schreiben
• Kapitel Matrixdarstellung linearer Abbildungen
• A MB M A M B
• A B A MC MC MB
• M B A C B
• schreiben Dann ist
• B A A MB idW MB MA idV
• B wobei T TB
• Whle nun B a
• als weitere geordnete Basis von R Berechne
• e b b T e b b
• cos sin sin cos
• sin cos aufgespannt
• B B M MA TA MB TA
• dann ist nicht hnlich zu a
• geht nicht mit allen Endo
• A rg MB rg
• A rg MB rg M A B
• dim im A B
• A A MB und Y MB
• so gilt rg rg
• Nur rg rg ist noch zu zeigen
• rg rg rg rg
• Geometrie im Raum
• Kapitel Geometrie im Raum
• b Parallele Ebenen p
• c Gerade und Ebene p p
• Somit ist x A und deshalb A
• t t wj wj n t
• Fr ein beliebiges u U ist u u
• j wj und somit
• Skizze zu diesem Beispiel w u
•  b Symmetrie des Skalarprodukts
• sowie simples Nachrechnen
• daraus die CauchySchwarzUngleichung
• cos v w sin v w
• Denition des Innenwinkels
•  D det ist normiert dh
• a a n det a an
•  j i Dann ist
• det n e t n
• rgA rgA n
• j j A ist nicht invertierbar
• ij aij det n AStr ij
• a ai an
• lj alj det n AStr lj
• zu D Fr A u
• ij aij det n AStr mit aij ij
• fr i j u fr i j u
• jj det n AStr jj
• ij aij detAStr ij
• Die Entwicklung nach der jten Spalte liefert
• ij aij detAStr detA ij
• rgA B n detA B detA
• detA B detA detB
• t a i b a i t b
• Der i ite Eintrag von A B ist
• deta ai ej ai an denn
• a a j aj a j an
• det i det i i
• B det det MB
• cos sin Das geht auch einfacher
• B det det MB det
• fr alle Automorphismen sowie u
• c det det det
• B det TB det
• gleich orientiert beide Systeme rechte Hand
• entgegengesetzt orientiert rotes System linke Hand
• Satz Ist q gilt
• ein ndimensionales Parallelotop so bn
• vol det b
• vol vol vol vol
• vol Dr vol En r
• also ist r rn cos
• nrn sin n nr
• nr cos n r x cos x
• r lim r Ellipsen
• vol Dr r Ea b a
• vol Ea b a b
• also b h en
• Wie man aus obenstehender Skizze erkennen kann gilt
• vol C Dr h e
• j D r m j r m
• denn Translation verndert das Volumen nicht a
•  Hieraus entnehmen wir die Beziehung
• h a sin h a sin a sin
•  Daraus erhalten wir sofort h h sin
• a und weiter
• h vol a a a
• Antwort Nein Beispiel
• a hnlich denn
• ist nur zu sich selbst hnlich a
•  Beispiele Spiegelungsmatrizen M S cos sin sin cos
• Andererseits v m v m
•  Bemerkung ist Eigenwert von P
• cos Die Nullstellen von PA lauten
• an an ann
• a PAStr Q
• a a ann a Q Q
• a a ann
• n n n a a ann n Terme
• cos cos sin cos sin
• hchstens sein o
• sin x cos x
• Schritt cos v w sin
• S dh S R Es gilt nun
• cos sin cos sin
• sin cos sin cos
• k k SAk S Ind Annahme
• vk A k v A k
• SAS A Ak an ak
• k k S S k k S
• A hat nur Eigenwert Eigenvektoren
• dh PA zerfllt in Linearfaktoren a
• B PMB det
• v u N uN
• Beispiel Sei A
• falls f maxi in ai in sonst
• ain in xi xin n
• i in bin in xn xn
• i ain in x xin und g n
• ai in bj jn xk xkn n
• aj j fr alle K wobei f u
• ak rk fr r u
• y y y
• D i D i
• D i D i
• q y y y
• detMB F det
• Kapitel Das Minimalpolynom
• al bj Al Aj al Al bj Aj
• mmal Annn f g x g Kx n
• am a a
• a m a a
• al wobei f am xm a
• PA x xn xn x
• diagonal ja ja nein
•  Entwicklung nach der letzten Spalte liefert
• x m det
• x mm m x det
• x mm m det
• x x m det
• m xm x
• Die Jordansche Normalform
• Bemerkung Aus i folgt Beweis
• qn fn fn gradfn gradfn
• wobei Aj MBjj Wj
• Kapitel Die Jordansche Normalform
• B MB wobei cj von der Form
• gegeben dann ist
• PA x MA x alg geo
• x x x x alg geo
• f tgt f tgt dt
• wj bj wj bj
• Gleichung v w
• vi wj ij eine Bilinearform
• cki clj bk bl cki kl clj
• B B TB t MB TB
• B B MB TB t MB TB
• vi wj ei ej
• Sei umgekehrt v N
• vi bi Ist nun bk bk dann ist
• vi bi bk vk bk bk vk
• Setze W spanbj j
• vj bj W gilt q v v v
• vj vk bj bk
• vj bj Dann ist q v
• q q heißt Ellipse
• v R v v v R v t
•  also ein Kreis vom Radius
• v E T v K
• q ist eine Ellipse
• v v v v v v
• q v R v v b v b
• v R v im Fall im Fall
• analog w v w v w H
• Analog lim sinht
• f cosh t
• v v und somit
• v R v v b v b v
• t b t R Das ist eine Gerade
• N da nicht ausgeartet ist
•  L ist injektiv
• auf Rn heißt MinkowskiProdukt Bemerkung ist
• x x x x n n
•  entsprechende ane Ebene p R E p
• Setze also p p y
• q x p p q p p
• C E q p p p
•  ii iii trivial iii i
• C E q q also ein Punkt
• C E q also ein Geradenkreuz
• andererseits ist jedoch q Nun ist
• dimE E dimE dimE dimE E
•  Zur Begrndung des Begris Parabel u
• Setze a b d
• Euklidische Vektorrume a
• a V Rn x y
• b V C a b R
• heißt Standardskalarprodukt auf R
• Kapitel Euklidische Vektorrume a
• a x y sind linear abhngig
• xy x y xy x y
• heißt Innenwinkel von x und y
• f sin x g cos x sin cos
• sin x cos xdx
• Es gibt Koezienten i R so dass v
• v bi bi U Setze w v u
• Sei also x U beliebig Schreibe x
• i bi Dann ist
• i v bi i v bi
•  b Zu v V ist v
• mit spanb bk
• vk Pspanb bk vk vk Pspanb bk vk
• Schritt b Schritt b
• v v b b v v b b
• Wir bestimmen v b
• x dx also
• v b v b
• i vw v w vw v w
• Kapitel Orthogonale Endomorphismen
• v v w v w
• Warum immer Wir interpretieren geometrisch
• bt bj ij i
•  cos w sin M S v
• v und w selber nachrechnen
• vi wi eine symmetrische
• Kapitel Selbstadjungierte Endomorphismen
• Unitre Endomorphismen a
• Kapitel Unitre Endomorphismen a
• vk Somit ist e j
• v vn jte Stelle
•  Somit ist v v
• b b w w b b w w
• Kapitel Dualrume a
• B A MA F MB F
• F die Matrix
• ckj bk ckj b bk
• cj Anderseits gilt b F aj
• d a aj d a aj
• Somit ist cj dj m j n
• A rgF rgMB F
• dh es gilt iV F F Beweis
• Dualrume und a Skalarprodukte
• Kapitel Dualrume und Skalarprodukte a
•  i F r die darstellenden Matrizen gilt u
• A A MB F ad MB F t
• Kapitel Quotientenvektorrume a
• v v U v v v v U
• V kerF imF
•  Zweige einer Hyperbel Zylinder schiefer verallgemeinerter

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