- Titel: Finanzmathematik
- Organisation: UNI LEIPZIG
- Seitenzahl: 69
Inhalt
- Vorlesungsskript Finanzmathematik I
- Rdiger Frey Thorsten Schmidt u Version von April
- Zinsen und Nullkuponanleihen
- Bewertung von Terminvertrgen a
- tT verkaufe et B d tT Nullkuponanleihen B
- tT etBtT Bd
- eT F e t T
- Vertragseigenschaften und Anwendungen
- Wertgrenzen fur Optionen Der Fall ohne Dividenden
- Damit folgt die rechte Seite
- Portfolio Kaufe am Call Zahle K auf Bankkonto
- Wertgrenzen fur Optionen Der Fall mit Dividenden
- A CTi CTi STi Di KBTi T
- Buttery CallK CallK CallK
- Einperiodenmodelle zur Wertpapierbewertung
- Arbitragefreiheit und Zustandspreise Martingalwahrscheinlichkeiten
- Arbitragefreiheit und Zustandspreise
- Zustandspreise und risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaße
- so dass die Behauptung unmittelbar aus Lemma folgt
- Eindeutigkeit von Zustandspreisen und Marktvollstndigkeit a
- Unvollstndige Mrkte a a
- Preisschranken fur nicht erreichbare bedingte Auszahlungen
- pk Wk D k dkn
- Einfuhrung in die Portfoliooptimierung
- Direkte Losung mittels Bedingungen erster Ordnung
- bzw kompakter W ln ln
- Wk rV E Q ln
- Modell und grundlegende Begrie
- si Si s Si s
- Vs Vs folgt die Behauptung durch Aufsummieren von
- Diskontierte Grßen o
- Arbitragefreiheit und Martingalmaße
- falls j i und t t sonst
- KAPITEL MEHRPERIODENMODELLE Denition Gegeben sei ein Finanzmarktmodell M
- Der Hauptsatz der Wertpapierbewertung
- Das CoxRossRubinstein CRR Modell
- u S rr rd S r r
- rr ud S rr
- Das quivalente Martingalmaß a
- Vollstndigkeit und HedgingStrategien a
- Optionen im CRRModell
- C upandin E Q
- ui T S T i u
- ui S uiT K uT i
- Q ST S ukT i
- Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und BlackScholesFormel
- n Si n ln i rn n Si
- Konvergenz unter dem historischen Maß
- gilt haben wir
- Eln i ln S nrn ln S rT
- gilt EZ n varZ n
- x ln S rT T
- Konvergenz unter dem Martingalmaß
- Ox und wir erhalten
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- T n O T n n
- und varS exp
- Die BlackScholes Formel
- n P erT E K eZT
- erT E K eZT P
- n n C S KerT P n
- x ln S r T
- Eigenschaften von Call und Putpreisen
- KAPITEL MEHRPERIODENMODELLE Bemerkung
- S S S S S T
- Optimales Stoppen und Amerikanische Optionen
- falls sonst max falls sonst
- U maxH EU F EU F
- maxH EU F max
- B C t T Bt Tn
- KAPITEL DER ZINSMARKT
- BtT BtS BtT BtS
- Bonds mit Laufzeit S keine Kosten
- Bt rtt Bt t
- Floating Rate Notes
- B F l t T Bt Tn
- Bt Tn Bt Tn K
- Bt Ti K Bt Ti
- Bt Ti Lt Ti Ti N KN
- N Bt T Bt Tn K
- Das Konzept der Duration
- Ki eym Ti t eym Tn t
- Martingale in diskreter Zeit
- ANHANG A MARTINGALE IN DISKRETER ZEIT
- die Dichte der Standardnormalverteilung ist Dann gilt ex
- x x e dx e
- Wir erhalten also ein Martingal fr m u
- Diskrete stochastische Integrale
- Ein selbstnanzierender Wertprozess wird die Gestalt
- i Si Fn i Si En Sn Fn
- Stoppzeiten und Optionales Stoppen
- DoobZerlegung und Supermartingale
Vorschau
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Vorlesungsskript Finanzmathematik I
R¨diger Frey & Thorsten Schmidt u Version von 6. April 2006
1
1 Fakult¨t f¨r Mathematik und Informatik, Universit¨t Leipzig, Augustusplatz 10/11 04109 Leipzig Germany. a u a Email: ruediger.frey@math.uni-leipzig.de bzw. thorsten.schmidt@math.uni-leipzig.de
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1.1 1.2 Einf¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Derivative Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 insen und Nullkuponanleihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Terminvertr¨ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Bewertung von Terminvertr¨gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 5 5 6 6 7 7 9 9 11 14 14 17 17 19 19 21 23 24 24 24 27 28 28 29 30
Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 Vertragseigenschaften und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wertgrenzen f¨r Optionen: Der Fall ohne Dividenden . . . . . . . . . . . . u Wertgrenzen f¨r Optionen: Der Fall mit Dividenden . . . . . . . . . . . . u Optionsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einperiodenmodell 2.1 2.2 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbitragefreiheit und ustandspreise/ Martingalwahrscheinlichkeiten . . . . . . . 2.2.1 2.2.2 2.3 2.4 Arbitragefreiheit und ustandspreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ustandspreise und risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaße . . . . . . . .
Eindeutigkeit von ustandspreisen und Marktvollst¨ndigkeit . . . . . . . . . . . . a Unvollst¨ndige M¨rkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 2.4.1 2.4.2 2.4.3 Preisschranken f¨r nicht erreichbare bedingte Auszahlungen . . . . . . . . u Superreplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratic Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Einf¨hrung in die Portfoliooptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 2.5.1 2.5.2 2.5.3 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte L¨sung mittels Bedingungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . o Der Martingalansatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
INHALTSVER EICHNIS 3 Mehrperiodenmodelle 3.1 3.2 3.3 3.4 Modell und grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbitragefreiheit und Martingalmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der 2. Hauptsatz der Wertpapierbewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das ¨quivalente Martingalmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Vollst¨ndigkeit und Hedging-Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Optionen im CRR-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 32 32 33 36 37 37 38 38 39 43 43 44 46 48 50 50 53 56 56 58 59 59 60 62 62 62 63 64 65 68
Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel . . . 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 Konvergenz unter dem historischen Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvergenz unter dem Martingalmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Black-Scholes Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften von Call- und Putpreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
Optimales Stoppen und Amerikanische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 3.6.2 Optimales Stoppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amerikanische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Der insmarkt 4.1 Einf¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 Das Bankkonto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Floating Rate Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Konzept der Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Martingale in diskreter eit A.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1 Bedingte Erwartungserte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.3 Diskrete stochastische Integrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Stoppzeiten und Optionales Stoppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Doob- erlegung und Supermartingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .