Geometrie mit dem Computer

Skript zum Kurs Geometrie mit dem Computer Wintersemester 2010/11

Hans-Gert Gr¨be, Univ. Leipzig a http://bis.informatik.uni-leipzig.de/HansGertGraebe 1. Februar 2011

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Einfuhrung ¨

Die (synthetische) Geometrie ist eine sehr alte mathematische Disziplin und stand – neben grundlegenden Fragen der ahlentheorie – lange eit wohl f¨r Mathematik schlechthin, ehe ihr dieser u Platz durch eine st¨rmische Entwicklung und Ausdifferenzierung der Mathematik in den letzten u 200 Jahren von anderen Disziplinen streitig gemacht wurde. Nat¨rlich hat sich in dieser eit auch u die Geometrie weiterentwickelt. Teildisziplinen wie Differentialgeometrie oder Algebraische Geometrie untersuchen komplizierte, stark nichtlineare geometrische Gebilde und haben zu wichtigen Einsichten uber die Struktur von Raum (und eit) gef¨hrt. Die elementare Geometrie ist dar¨ber, u u ¨ vollkommen zu unrecht, in die zweite Reihe ger¨ckt. Das findet insbesondere seinen Ausdruck im u Curriculum der Schule, in welchem (elementar)geometrische Fragestellungen nur noch in geringem Umfang auftauchen. Andererseits faszinieren solche Aufgaben immer wieder durch die Einfachheit, mit der relevante Probleme formuliert werden k¨nnen, sowie den Scharfsinn und die Tiefgr¨ndigkeit der Argumeno u tation, die zu deren Beantwortung erforderlich sind. Sie bieten damit f¨r Hobbymathematiker, u interessierte Sch¨lerinnen und Sch¨ler eingeschlossen, immer wieder eine Fundgrube von Probleu u men und Ideen, an denen die eigene Argumentationskraft trainiert und verbessert werden kann. Die Vielfalt der Argumentationsmuster, die dabei zum Einsatz kommen, lassen eine Mechanisierung derartiger Beweisans¨tze als schier unm¨glich erscheinen. a o Besonders Fragen der Konstruierbarkeit mit irkel und Lineal haben Mathematiker verschiedener Epochen immer wieder fasziniert. So geh¨ren die beiden großen Fragestellungen aus o der antiken Mathematik nach der Verdopplung eines W¨rfels und der Dreiteilung eines beliebigen u Winkels mit diesen Instrumenten zu den wohl auch außerhalb der Mathematik bekanntesten geometrischen Problemen. Trotz der Einfachheit der Fragestellung ließ sich deren Unl¨sbarkeit erst o exakt nachweisen, als ein entsprechender algebraischer Apparat, in diesem Fall die K¨rpertheoo rie, entwickelt wurde. Eine solche Methode der Symbolisierung“ geometrischer Sachverhalte in der ” Sprache der Algebra erlaubte es Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796, die Konstruierbarkeit eines 17-Ecks nachzuweisen. Die entsprechenden Argumente sind heute in den meisten Standardwerken zur (h¨heren) Algebra als Anwendungsbeispiele dieser Theorie genauer ausgef¨hrt. o u Ein exaktes Studium der mit der Konstruierbarkeit verbundenen Fragestellungen kommt um eine ordentliche Fundierung, eine Axiomatisierung der Geometrie nicht herum. Auch hier lassen sich die entsprechenden Ans¨tze bis in die Antike hinein, etwa zu den B¨chern des Euklid, a u verfolgen. Mathematiker hat dabei immer interessiert, geometrische Aussagen und Konstruktionen mit m¨glichst geringen Voraussetzungen herzuleiten bzw. auszuf¨hren. Die aus der Schule bekannte o u Geometrie setzt dabei das umfangreichste Instrumentarium voraus. Neben Punkten, Geraden, 1

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Parallelen, L¨ngen und Winkelgr¨ßen gibt es auch noch Strecken, Strahlen und Halbebenen, wozu a o auf jeder Geraden g (auf konsistente Weise) eine Ordnungsrelation zur Verf¨gung stehen muss, die u es erlaubt, f¨r drei Punkte A, B, C ∈ g zu entscheiden, ob C zwischen A und B liegt. Geometrische u Aussagen, die von Strahlen, Halbebenen und dieser wischenrelation Gebrauch machen, werden der Ordnungsgeometrie zugeordnet. Da algebraische Verfahren, die wir zum Mechanisieren ausschließlich heranziehen werden, mit solchen Ordnungsrelationen nicht gut zusammenspielen, werden wir derartige geometrische Aussagen im Weiteren aus unseren Betrachtungen ausklammern. Damit wird der Kreis der zu untersuchenden geometrischen Problemstellungen aber nur etwas eingeschr¨nkt, da viele Konfigurationen, in denen Strecken vorkommen, diese Ordnungsrelation in a Wirklichkeit nicht ausnutzen. So kann man etwa den Mittelpunkt einer Strecke AB bestimmen, ohne zu wissen, wo auf der Geraden g = g(AB) links oder rechts ist, indem nach dem aus der Schule bekannten Verfahren die Kreise c(A, B) (mit Mittelpunkt A und Peripheriepunkt B) und c(B, A) zum Schnitt gebracht und deren zwei Schnittpunkte miteinander verbunden werden. Der Schnittpunkt dieser Verbindungsgeraden mit g ist der zu konstruierende Mittelpunkt. Eine Geometrie, welche nur von Punkten, Geraden, Parallelen, L¨ngen und Winkelgr¨ßen (und damit a o auch Senkrechten und Kreisen) Gebrauch macht, wird als Euklidsche, Bewegungs- oder Kongruenzgeometrie bezeichnet. o Allerdings ben¨tigt man ein so umfangreiches Arsenal von Hilfsmitteln zur Konstruktion des Mittelpunkts einer Strecke nicht wirklich. Man kann den Mittelpunkt einer Strecke AB auch bestimmen, ina dem man einen dritten Punkt C beliebig w¨hlt und das Parallelogramm ACBD konstruiert. Die Mitte der Strecke AB ist dann genau der Diagonalenschnittpunkt in diesem Parallelogramm.

D M A B C

Affine Geometrie: Konstruktion des Mittelpunkts einer Strecke

Wir haben daf¨r die M¨glichkeit der Euklidschen Geometrie, L¨ngen (und Winkel) vorgegebener u o a Gr¨ße in einem vorgegebenen Punkt anzutragen, nicht ben¨tigt, sondern einzig die M¨glichkeit, zu o o o vorgegebenen Geraden Parallelen konstruieren zu k¨nnen. Eine Geometrie, die nur mit Punkten, o Geraden und Parallelen auskommt, bezeichnet man als affine Geometrie. Im Mittelpunkt dieser Geometrie stehen der Strahlensatz, Teilverh¨ltnisse und Eigenschaften des Parallelogramms. Eine a etwas eingeschr¨nktere Geometrie erhalten wir, wenn wir Winkeltreue, also Winkelgr¨ßen und a o deren Erhaltung, nicht aber die Erhaltung von Streckenl¨ngen fordern. Diese Geometrie bezeichnet a ¨ man als Ahnlichkeitsgeometrie. Noch allgemeinere S¨tze der projektiven Geometrie erh¨lt man, wenn man auch auf die Verwena a dung von Parallelen verzichtet. Derartige S¨tze sind invariant unter projektiven Transformationen, a ¨ d. h. solchen, die man in der Malerei bei der Ubertragung einer weiten Landschaft auf die Staffelei antrifft, wenn sich die ehemals parallelen Geraden im Bild auf der Horizontlinie schneiden. Eine solche projektive Transformation π ubertr¨gt eine geometrische Konfiguration von einer Ebene ε a ¨ (im Raum) auf eine andere Ebene ε nach folgendem Verfahren: W¨hle ein Projektionszentrum außerhalb der beiden Ebenen aus. Den Bildpunkt a A = π(A) ∈ ε zu einem Original A ∈ ε findet man als den Schnittpunkt von g(A ) mit ε . Offensichtlich gehen bei dieser Konstruktion Geraden in Geraden uber. In der Tat, die Geraden ¨ g(A ) f¨r A ∈ g spannen eine Ebene auf, so dass die Bildpunkte auf der Schnittgeraden dieser u Ebene mit ε liegen. Allerdings besitzt nicht jeder Punkt A der Urbildebene ε einen Bildpunkt,

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C A

D B

B

D

A

C

Projektive Abbildung – Die Bildgeraden paralleler Geraden schneiden sich auf der Ausnahmegeraden der Bildebene

denn die Gerade g(A ) kann ja parallel zu ε verlaufen. Die entsprechenden Punkte A mit dieser Eigenschaft liegen genau auf der Schnittgeraden von ε mit der Parallelen zu ε durch . Diese Gerade bezeichnet man als die Ausnahmegerade auf ε. Ihre Punkte werden in die unendlich ferne“ ” Gerade von ε abgebildet. Insbesondere sind die Bilder zweier Geraden, die sich in ε auf dieser Ausnahmegeraden schneiden, parallel zueinander. Genauso gibt es auf ε eine Ausnahmegerade. Die Abbildung π ist jenseits der beiden Ausnahmegeraden eineindeutig. Erweitert man ε bzw. ε jeweils durch Hinzunahme einer Ferngeraden zur projektiven Ebene ε bzw. ε , wobei die jeweilige Ferngerade Bild bzw. Urbild der Ausnahmegeraden der anderen Ebene ist, so wird die Abbildung π sogar im Ganzen eineindeutig. Aussagen der projektiven Geometrie enthalten also typischerweise Formulierungen der Art . . . die Geraden schneiden sich oder sind parallel zueinander . . .“. ” Wie kann man nun eine solche Vielfalt von Ans¨tzen unter einen Hut bringen? un¨chst waren es a a Mathematiker am Ende des 19. Jahrhunderts, vor allem Felix Klein und David Hilbert, die einen usammenhang zwischen dem Umfang der eingesetzten Konzepte und Transformationsgruppen herausfanden. Die aus der Schule bekannte Phrase eindeutig bis auf Kongruenz“ besagt genau ” dies. Aussagen der Bewegungsgeometrie, etwa die Konstruktion eines Dreiecks aus vorgegebenen drei Streckenl¨ngen, sind immer nur eindeutig bis auf Kongruenztransformationen m¨glich. Form a o und Gr¨ße des Dreiecks sind eindeutig bestimmt, seine Lage in der eichenebene kann durch o Drehung, Verschiebung und Spiegelung weitgehend frei gew¨hlt werden. Die zugeh¨rige Bewea o gungsgruppe ist die Gruppe der orthogonalen Transformationen der Ebene. Streckenl¨ngen und a Winkelgr¨ßen bleiben dabei erhalten, so dass orthonormale Koordinatensysteme bei solchen Transo formationen in orthonormale Koordinatensysteme uberf¨hrt werden. Solche Koordinatensysteme u ¨ bezeichnen wir auch als karthesische Koordinaten.