Höhere Mathematik für Physiker

Titel: Höhere Mathematik für Physiker
Autor: krause
Organisation: UNI WUPPERTAL
Seitenzahl: 72

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Inhalt

Höhere Mathematik für Physiker Teil I
Inhalt von Kapitel Lineare Algebra
Erzeugte Teilräume Linearkombinationen unendlicher Familien
Kapitel Lineare Algebra
Vektorräume und Moduln
Erzeugendensystem Linear abhängig unabhängig
Axiome der Moduln und Vektorräume
Beispiele Übertragung lineare Abbildungen Strukturaufklärung Gleichungen Anwendungsmodelle
Übertragung der Vektorraumstruktur Analytische Geometrie
a Untermoduln Teilräume
b Produktmengen Produkträume
Der Beispielfundus für Moduln und Vektorräume
Fxy FxFy FxFy
Das Programm der analytischen Geometrie
Programm der analytischen Geometrie
Abbildungsräume mit Wertemengenverknüpfung
a Die Beziehung zu den Produkträumen
b Der Teilraum der Abbildungen mit endlichem Träger
Algebraische Strukturen der Potenzmenge Teilraumverband und Quotientenräume
a Der Verband der Teilräume
Das grundlegende Begrisystem der Vektorrechnung
i ai a a n an
aus V oder M
Abstrahieren wir die angesprochene Abbildung
Für das zweite Diagramm gilt Entsprechendes Also
Erzeugendensyteme lineare Unabhängigkeit und Basen
LaLu ES Basis
Linearkombinationsabbildung n La R V
L a surjektiv a ist Erzeugendensystem
L a ist injektiv a ist linear unabhängig
a ist immer Erzeugendensystem von Bild L
L ist bijektiv
a ist Basis von V
a ist immer Basis von Bild L a
a Der rechnerische Umgang mit den Begrien
b Die kanonische Basis von Kn
c Die Schnittpunktsbedingung für Geraden
d Unterschiede zum Zahlenrechnen
Linearkombinationen unendlicher Familien
Die Struktur der endlichdimensionalen Vektorräume
Sei weiter m T
Die Basen eines endlichdimensionalen Vektorraumes
Die beiden Sätze im Begrissystem
Vektorraum und x xn ein Erzeugendensystem von V
Weiter sei y ym linear unabhängig
einer geeigneten Abwandlung
Jetzt können wir das Klassikationsproblem für Vektorräume abschließen
Wichtige Denkguren der Vektorrechnung
Der Dimensionssatz für Teilräume
a Der Spezialfall U W direkte Summen
V Vektorraum und UW Teilräume mit U W
b Direkte Summen
Die Konstruktion supplementärer Räume
Zusammenfassende Übersicht über die eingeführten Teilräume
Die rekursive Konstruktion der endlichdimensionalen Vektorräume
Der Dimensionssatz für Homomorphismen
a Typische Interpretation eines einfachen geometrischen Problems
b Die elementare Parallelprojektion
c Etwas Geometrie in vier Dimensionen
d Eine Vektorformel für die Drehoperation in V
der Ortsvektor des Mittelpunktes des Tetraeders
mit n an der iten Stelle
Lineare Abbildungen Allgemeine Eigenschaften und Quantizierung
Vorbemerkung und Übersicht
Matrix ist eine Familie von Elementen
a Die Abbildungsinterpretation einer Matrix
a Die Linearität der Matrixabbildung
b Die Konventionen des Indexkalküls
Konventionen zum Indexkalkül Teil I
Die Fundamentalidentität einer linearen Abbildung
a Die Diagrammform der Fundamentalidentität
y x ck yk ck Mki xi
x Lc y S Lc M xS
mit yk Mki xi
Oder genauer formuliert
gegeben M gegeben
Der Isomorphismus zwischen Homomorphismen und Matrizen
Dimensionen Basen zusammen S Vektorräume über K
m Beschreibende Matrizen Koordinatenräume
Matrix P ist gesucht
Koeezientenvergleich liefert Psi Gehen wir die Rechenschritte durch
a Der Endomorphismenring
b Nichtlineare Gleichungen für Matrizen
c Matrizen als Entwicklungsoperatoren
xnxcosPysinP ynxsinpycosP P Iterationen
xnxcosPysinP ynxsinPycosP p Mehrere Startwerte gefüllt
Das allgemeine Szenenbild
Die Transformation der beschreibenden Matrix
cos sin sin cos cos sin
sin cos S ST S
x cos z cos
sin x sin sin z sin

Vorschau

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Höhere Mathematik für Physiker Teil I

F. Krause

Kapitel 4

Lineare Algebra

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C o py rig h t F .K ra u s e

1 Inhalt von Kapitel 4 Lineare Algebra

• 4.1 Vektorräume und Moduln — 4.1.0 Vorbemerkung — 4.1.1 Übertragung der Vektorraumstruktur / Analytische Geometrie ∗ 4.1.1a Untermoduln / Teilräume. ∗ 4.1.1b Produktmengen / Produkträume

— 4.1.2 Der Beispielfundus für Moduln und Vektorräume — 4.1.3 Strukturerhaltende Abbildungen ∗ 4.1.3a Die Übertragung der Struktur auf den Wertebereich einer Abbildung ∗ 4.1.3b Vektorraumhomomorphismen

— 4.1.4 Lineare Gleichungen

— 4.1.5 Das Programm der analytischen Geometrie — 4.1.6 Abbildungsräume mit Wertemengenverknüpfung ∗ 4.1.6a Die Beziehung zu den Produkträumen ∗ 4.1.6b Der Teilraum der Abbildungen mit endlichem Träger

— 4.1.7 Algebraische Strukturen der Potenzmenge: Teilraumverband und Quotientenräume ∗ 4.1.7a Der Verband der Teilräume ∗ 4.1.7b Quotientenräume

• 4.2 Das grundlegende Begriﬀsystem der Vektorrechnung — 4.2.1 Die Linearkombinationsabbildung ∗ ∗ ∗ ∗ 4.2.2a Der rechnerische Umgang mit den Begriﬀen 4.2.2b Die kanonische Basis von Kn 4.2.2c Die Schnittpunktsbedingung für Geraden 4.2.2d Unterschiede zum ahlenrechnen

— 4.2.3 Erzeugte Teilräume — 4.2.4 Linearkombinationen unendlicher Familien

• 4.3 Die Struktur der endlichdimensionalen Vektorräume — 4.3.0 Vorbemerkung — 4.3.1 Vorbereitende Charakterisierungssätze — 4.3.2 Die Basen eines endlichdimensionalen Vektorraumes — 4.3.3 Die Dimension — 4.3.4 Die Klassiﬁkation — 4.3.5 Wichtige Denkﬁguren der Vektorrechnung — 4.3.6 Der Dimensionssatz für Teilräume ∗ 4.3.6a Der Spezialfall U ∩ W = {0} – direkte Summen 2

∗ 4.3.6b Direkte Summen — 4.3.7 Die Konstruktion supplementärer Räume — 4.3.8 usammenfassende Übersicht über die eingeführten Teilräume — 4.3.9 Die rekursive Konstruktion der endlichdimensionalen Vektorräume — 4.3.10 Der Dimensionssatz für Homomorphismen — 4.3.11 Beispiele ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 4.3.11a Typische Interpretation eines einfachen geometrischen Problems 4.3.11b Die elementare Parallelprojektion 4.3.13c Etwas Geometrie in vier Dimensionen 4.3.11d Eine Vektorformel für die Drehoperation in V03 4.3.11e Das n-dimensionate Tetraeder – Ein Beispiel für das Programm der analytischen Geometrie

• 4.4 Lineare Abbildungen: Allgemeine Eigenschaften und Quantiﬁzierung — 4.4.0 Vorbemerkung und Übersicht — 4.4.1 Der Matrixkalkül ∗ 4.4.1a Die Abbildungsinterpretation einer Matrix — 4.4.2 Der Indexkalkül ∗ 4.4.2a Die Linearität der Matrixabbildung ∗ 4.4.2b Die Konventionen des Indexkalküls — 4.4.3 Die Fundamentalidentität einer linearen Abbildung ∗ 4.4.3a Die Diagrammform der Fundamentalidentität ∗ 4.4.3b Die Quantiﬁzierung einer linearen Abbildung durch eine Matrix — 4.4.4 Der Isomorphismus zwischen Homomorphismen und Matrizen — 4.4.5 Die Matrixmultiplikation ∗ 4.4.5a Der Endomorphismenring ∗ 4.4.5b Nichtlineare Gleichungen für Matrizen ∗ 4.4.5c Matrizen als Entwicklungsoperatoren

• 4.5 Basiswechsel — 4.5.1 Das allgemeine Szenenbild — 4.5.2 Die Transformation der beschreibenden Matrix •