Homologische Algebra und Gruppenkohomologie

24. June 2011 Mathematik
  • Titel: Homologische Algebra und Gruppenkohomologie
  • Organisation: UNI MUENSTER
  • Seitenzahl: 118

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Inhalt

  • Einleitung
  • Ringe und Moduln
  • Definition von Ring und Modul
  • Operationen auf Moduln und Ringen
  • Operationen auf Moduln; das Tensorprodukt
  • Operationen auf Ringen
  • Frei, projektiv, flach, teilbar, injektiv
  • Kategorien und Funktoren
  • Kategorien
  • Abelsche Kategorien
  • Auflösungen und abgeleitete Funktoren
  • Projektive und injektive Auflösungen
  • Homologie und Homotopie
  • Das Fundamentallemma der homologischen Algebra
  • Die lange exakte Sequenz
  • Tor und Ext
  • Symmetrie von `39`42`"613A“45`47`"603ATor und das Analogon für `39`42`"613A“45`47`"603AExt
  • Yoneda-Ext
  • Gruppenhomologie und –kohomologie
  • Definition und Beispiele
  • Funktorialität
  • Die Bar-Auflösung
  • Gruppenkohomologie und Gruppenerweiterungen
  • Exkurs
  • Induktion und Transfer
  • Multiplikative Strukturen
  • Kettenalgebren und -koalgebren
  • Multiplikative und komultiplikative Auflösungen
  • Das Produkt auf `39`42`"613A“45`47`"603AExt und das Koprodukt auf `39`42`"613A“45`47`"603ATor
  • Eigenschaften des Produkts
  • Äquivalente Produkte
  • Höhere Produkte
  • Spektralsequenzen
  • Exkurs
  • Exaktheit von Limes und Kolimes
  • Filtrierte Kettenkomplexe
  • Filtrierungen und Metriken
  • Spektralsequenzen und exakte Tripel
  • Der zentrale Konvergenzsatz
  • Absteigende Filtrierungen
  • Die Spektralsequenz eines Doppelkomplexes
  • Anwendungen und Beispiele
  • Universelle Koeffizienten
  • Künneth-Spektralsequenzen
  • Die Hochschild-Lyndon-Serre-Spektralsequenz
  • Konstruktion und Beispiele
  • Multiplikativität
  • Weitere Beispiele
  • Triangulierte Kategorien und abgeleitete Kategorien
  • Prätriangulierte Kategorien
  • Exkurs
  • Die Homotopiekategorie der Kategorie der Kettenkomplexe
  • Das Oktaeder-Axiom
  • Abgeleitete Kategorien und abgeleitete Funktoren

Vorschau

S KRIPT UR V ORLESUNG IM W INTERSEMESTER 2004/2005

Homologische Algebra und Gruppenkohomologie

Tilman Bauer ¨ 18. Juni 2008 – Uberarbeitung

Westf¨lische Wilhelms-Universit¨t M¨ nster a a u

Einleitung

Dies ist eine vorl¨ufige Version des Skripts zu der Vorlesung Homologische Algebra und a ” Gruppenkohomologie“ im Wintersemester 2004/2005. Die Vorl¨ufigkeit spiegelt sich auch darin wieder, dass es noch keine wirkliche Einleia ¨ tung gibt. F¨ r einen sehr guten Abriss uber die Geschichte der homologischen Algebra u verweise ich auf [Wei99]. ¨ Das klassische und auch heute noch lesenswerte Buch von Cartan und Eilenberg uber homologische Algebra [CE99] markierte zu der eit seiner Erscheinung den Beginn der homologischen Algebra; viele Dinge werden noch heute genauso gemacht wie in diesem Buch. Unter den neueren B¨ chern ist [Wei94] besonders empfehlenswert; es ist st¨ cku u weise zwar recht knapp gehalten, hat aber insgesamt ein gutes Tempo, bei dem keine Langeweile aufkommt. Weitere einf¨ hrende Textb¨ cher sind [ML95, HS97]. An den Leu u ¨ ser mit Vorkenntnissen in homologischer Algebra, der mehr uber abgeleitete Kategorien lernen m¨chte, wendet sich das Buch von Gel’fand und Manin [GM03]. o Das Standardwerk zur Gruppenkohomologie ist das Buch [Bro94] von Ken Brown; weiterf¨ hrend, aber vor allem auf endliche Gruppen spezialisiert ist Adem-Milgram u ¨ [AM04]. Besonders wegen des Kapitels uber den multiplikativen Transfer, der in diesem Skript und auch in [Bro94] nicht behandelt wird, bietet sich auch [Eve91] an. Der Index zu diesem Skript wurde von Clara Strohm erstellt, die auch Korrektur gelesen hat und der ich daf¨ r sehr dankbar bin. u

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