Lineare Algebra I und II

• Titel: Lineare Algebra I und II
• Organisation: UNI BIELEFELD
• Seitenzahl: 215

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Inhalt

• Ein Skript fur Lineare Algebra I und II
•  Bilinearformen a Quotientenrume und das TensorProdukt Literatur Index
•  Lineare Gleichungssyteme wird mit bezeichnet
• nicht lsbar o
• eindeutig lsbar o
• wird mit bezeichnet
•  Vektorrume a Beweis Ubung
• a Folglich sind v m vm linear abhngig
•  Vektorrume a Setze k dann ist k und
• Endlichdimensionale Vektorrume a
•  Endlichdimensionale Vektorrume a
• und damit ist n LsA o
• u LsA mit und o
• und damit gilt cik
• falls i j En heißt Einheitsmatrix sonst
•  Matrizen und Dies folgt aus Satz
• fr jedes j wobei En ij u
• Rang einer Matrix
•  Rang einer Matrix
• Lineare Abbildungen und Matrizen
• f guk f guk f
• n f vj n n m m n
• m m m m m m m
• und fr jedes i m gilt also u
•  Lineare Abbildungen und Matrizen
• rang f rang A
•  Lineare Abbildungen und Matrizen Beweis Ubung
• Es gilt U U Um
•  Trigonalisierbarkeit Lemma Sei f V V ein Endomorphismus
• Bild f Bild f
• Der Endomorphismus gU idU von U ist nilpotent
• m sind die verschiedenen Eigenwerte von gW
• m v vn u u um upm p
• Lv f v f k v
• q k rang Nk
• rang N rang N
• Lemma Sei G e eine Gruppe
• ab H fr alle a b H u
• i j i j da eine Bijektion ist
•  Gruppen Beweis Ubung fr Streberinnen und Streber u
• Determinante einer Matrix
• signa a an n
•  Determinante einer Matrix Beweis Sei v vn aij
• detv vk vk vk vn
• signa an n signa an n
• signa an n
•  Determinante einer Matrix
• signb bn n
• signa an n sign det A
• aj aj detvj vj w wn
• aj anjn detvj vjn
• signa an n signa an n
• sign a an n
• t signat an n det At
• Fr jedes a R ist u
•  Determinante einer Matrix Sei wk Rn dann ist
• signa an n signa an n
• signa an n det A
• j detv vk vj vk vn
• i detw wj wi wj wn
• ad cb ud vb
•  Determinante einer Matrix ab cd
• ad cb av cu
• ik aik det Aik
• signa ai i ai i an n
• kj akj det Akj
• Beweis Nach Satz und Satz ist
• det A det At
• ik at detAt ik ik
• ki kj aki det Akj det Aki kj
• und daraus folgt nach Satz dass
• Das charakteristische Polynom
• signp pn n pd
• signp pn n
•  Das charakteristische Polynom
• Das minimale Polynom
•  Das minimale Polynom
• u da fr jedes i n
• Euklidische und unitre Vektorrume a a
• V R die Norm genannt
• x xn y yn
• fr alle x x xn Rn u
•  Euklidische und unitre Vektorrume a a
• v genau dann wenn v Dreiecksungleichung
• v v fr alle v V R u
• Beweis und sind klar Nach Satz ist uv
• u v u v
• z zn w wn
• u v u v v v
• u v u v u u v v
• V R hat folgende Eigenschaften
• vk Fr jedes j k ist nun u
• Orthogonale und unitre Endomorphismen a
•  Orthogonale und unitre Endomorphismen a
• f v f v v v v
• Insbesondere ist det f da det S
• cos xcos x sin cos sin x x
• Orthogonale und unitre Matrizen a
• aij aij fr j n u
• aij aik fr alle j k u
• A ist orthogonal At A En
• falls i j Dann gilt falls i j
• A ist orthogonal Genauso
• aij aik jk fr alle j k u
• Dies folgt unmittelbar aus Satz
• t At A t A At En En
• A t A At A AAt En En
•  Orthogonale und unitre Matrizen a
• bij f vi f vj
• r cos r sin
• Sei v R mit v S v S
• r cos r sin
• aij aij fr j n und u
• A ist unitr a At A En
• A ist invertierbar und A A
•  Orthogonale und unitre Matrizen a AA En
• Nach Satz Lemma Lemma und Lemma ist
• i j vi f vj
• n n t aij vi vk i
• t t aij vi vk akj ajk n
• aik vj vi vj
• aik vi vj f vk
• f ist orthogonal bzw unitr a
• Kern f Kern f ad
• Kx yf xgy dx dy
• svi wj m n
• Erinnerung Sei r Emn
• r und rang Emn r
• u vj v vk svj vk
• ajk yk x A y
• k vk p p p p pq pq
• fr alle n n R u
• Daraus ergibt sich dass
• Quotientenrume und das TensorProdukt a
•  Quotientenrume und das TensorProdukt a
• Genauso ist h h idVU
• und daher ist h h idVU

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