Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Vorlesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie I

Andreas Knauf∗ Wintersemester 2000/2001

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung ¨ 2 Die Sprache der Mathematik 3 Gruppen 4 Ringe und K¨ rper o 5 Vektorr¨ ume a 6 Basis und Dimension 7 Koordinaten 8 Lineare Abbildungen 9 Lineare Gleichungssysteme und Invertierung von Matrizen 10 Isomorphismen und Endomorphismen 11 Determinante und Spur

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1 Mathematisches Institut, Universit¨ t Erlangen-N¨ rnberg, Bismarckstr. 1 2 , D–91054 Erlana u gen, Germany. e-mail: knauf@mi.uni-erlangen.de, web: www.mi.uni-erlangen.de/∼knauf

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12 Eigenwerte und Eigenvektoren 13 Euklidische und unit¨ re Vektorr¨ ume a a Literatur Index

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Vorbemerkung: Dieses Skript kann kein Lehrbuch ersetzen. Einige Lehrb¨ cher u zur Linearen Algebra sind im Literaturverzeichnis erw¨ hnt. a Danksagung Ich danke Frau T. Dierkes und Frau A. Stroux, die viele Fehler im Manuskript fanden, und Frau I. Moch, die in detektivischer Arbeit meine Handschrift entzifferte und dieses Skript schrieb.

1 Einfuhrung ¨

Am Beginn des Mathematikstudiums stehen traditionell zwei Vorlesungen, die Analysis und die Lineare Algebra. • Der zentrale Begriff der Analysis ist der des Grenzwertes. Durch Grenzwertbildung wird aus der Sekante die Tangente, aus der Summe das Integral. Differentiation und Integration f¨ hren zu Differential- und Integralgleichunu gen, mit deren Hilfe sich Naturvorg¨ nge modellieren lassen. a • Die Lineare Algebra, mit der wir uns in dieser Vorlesung befassen, ist zun¨ chst a ein Teilgebiet der Algebra. Diese “ist die Lehre von den vier Grundrechenarten – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – und der Aufl¨ sung der in diesem usammenhang entstehenden Gleichungen” (Erich o K¨ hler, 1953). a In der Linearen Algebra sind diese Gleichungen linear. Einfachstes Beispiel ist die Gleichung ax = b mit der Unbekannten x und der L¨ sung x = b/a. o Verallgemeinert werden Sie Methoden kennen lernen, mit denen sich die L¨ suno gen eines Systems linearer Gleichungen mit mehreren Unbekannten finden lassen. Eng verkn¨ pft mit den linearen Gleichungssystemen sind die sog. Vektorr¨ ume. u a In unserem Beispiel ist die L¨ sung x eine reelle ahl oder, geometrisch gesehen, o ein Punkt im eindimensionalen Vektorraum R, der ahlengerade. Ist der Koeffizient a = 0, dann erf¨ llt f¨ r b = 0 jedes x unsere Gleichung, die L¨ sungsmenge ist u u o u o also ganz R, f¨ r b = 0 aber gibt es keine L¨ sung. 2

• Das zweite Thema dieser Vorlesung ist die Analytische Geometrie. In dieser wird unter anderem die Geometrie der Kegelschnitte (Ellipse, Parabel und Hyperbel) untersucht, die z.B. m¨ glichen Bahnen von Himmelsk¨ rpern ento o sprechen. Dabei wird seit den eiten von Descartes (1596-1650) Gebrauch von den cartesischen Koordinaten in der Ebene gemacht. Diese gestatten es, geometrische Fragen algebraisch umzuformulieren und mit algebraischen Methoden zu l¨ sen. o Im Lauf der Jahrhunderte wurde der Begriff des linearen oder auch Vektorraums aus der Intuition abstrahiert, die die Mathematiker uber den dreidimensio¨ nalen Anschauungsraum oder die eichenebene entwickelt hatten. In dieser Vorlesung wie in den meisten Mathematikvorlesungen wird umgekehrt bei einer axiomatischen Beschreibung der untersuchten Struktur, hier also des linearen Raumes, begonnen und die Anschauung danach in S¨ tzen und Beia spielen entwickelt. Diese deduktive Vorgehensweise der Mathematik tr¨ gt in der a ¨ Offentlichkeit zu ihrem schlechten Ruf als abstrakt-unverst¨ ndlicher Wissenschaft a bei, hat aber ihren guten Grund. Sie dient der Entwicklung neuer, dem Untersuchungsobjekt angemessener Intuition. Ich m¨ chte das am Beispiel der eicheneo bene (Tafel oder Papier) erl¨ utern. a 1.1 Beispiel Wenn wir ein Blatt Papier als Modell eines (zweidimensionalen) Raumes betrachten, abstrahieren wir zun¨ chst von seiner endlichen Ausa dehnung, stellen es uns nach allen Seiten fortgesetzt vor. Warum ist es zweidimensional? Nehmen wir an, das Papier ist kariert und ich zeichne (1.7 , 2.6) einen Kreuzungspunkt als Nullpunkt ( 4 , 1) aus. Dann kann ich jeden anderen Kreuzungspunkt durch Angabe zweier ganzer ahlen eindeutig benennen; durch Angabe zweier reeller ahlen kann ich jeden Punkt der Ebene eindeutig benennen. Dagegen ist unser Anschauungsraum dreidimensional, denn wir ben¨ tio gen f¨ r die Benennung seiner Punkte drei Koordinaten. u Den Punkten unseres Raumes ordnen wir jetzt Vektoren, also gerichtete Strecken, zu, die vom Nullpunkt ausgehen und im gegebenen Punkt enden. Einen solchen Vektor k¨ nnen wir mit seinem Endpunkt identifizieren. Es gibt also eine 1 : 1– o 3