Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen

24. June 2011 Mathematik
  • Titel: Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen
  • Organisation: UNI HANNOVER
  • Seitenzahl: 51

Skript herunterladen (PDF)

Inhalt

  • Mannigfaltigkeiten und LieGruppen
  • stundige Vorlesung im Wintersemester JORG SEILER
  • xv v v vn v
  • Tangentialraum und Dierential
  • einen Tangentialvektoren xi
  • i und x m xn m
  • Linear unabhngig a
  • ij Kronecker Symbol
  • g xmvxj j ri
  • Satz Jeder Tangentialvektor ist Tangentialvektor einer glatten Kurve
  • yi m xj yi
  • und verwende die Linearitt von dm a
  • angwendet auf v d
  • Tangentialbundel und Vektorfelder
  • xv dx v dxn v xv vx vxn
  • da t t m da t y t
  • r rn r f r f
  • bj bi aj xi xi xj
  • LieGruppen und LieAlgebren
  • a e A b a A
  • abc abc Assoziativitt a
  • i dxi k
  • dim Sln R n
  • Verteilungen und der Satz von Frobenius
  • Abbildung Zu ergnzen a Daher ist V
  • Dm Erzeugnis x m xk m
  • cijl S d Yl
  • cijl S Zl D
  • D m Erzeugnis w m wk m
  • folgt daß Yi m eine Linearkombination der
  • Dm Erzeugnis x m
  • x m xk m xk m
  • Y Yi xj Y Yi xj
  • entspricht dies einem linearen System erster Ordnung
  • F Y xj Yk xj
  • Homomorphismen und LieUntergruppen
  • da N lokal homomorph zum Rl ist o
  • U j u uj ui U
  • da injektiv und aus Dimensionsgrnden u
  • V H x k O U H U
  • d exp tr t dr
  • konvergiert absolut auf ganz R
  • Dann ist ein LieGruppenhomomorphismus mit e und d
  • t dlexpt expt e
  • U exp U U U
  • nn n n n nn n
  • KR KC KR KC KR KC
  • ajk fr alle k n u
  • d dr f expr
  • d dr f exprY
  • e f Ye f e Ye f
  • expt Y ngtn
  • Die adjungierte Darstellung
  • Dierential von Ad
  • G Autg exp exp g Endg
  • tA d dt a e Ad a
  • G AutMn K exp exp g EndMn K
  • d d ds dt f expsY
  • exp expY exp
  • expAdexp Y exp expad Y
  • Y Y Also
  • exp expY exp A
  • expadt Y exptad Y
  • Zg g Y
  • exp ist lokal bei ein Dieomorphismus
  • betrachtet als oene Menge in Rnk S U
  • expt exps t
  • ajn ej also a also nj
  • Mit H ist auch H

Vorschau

Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen

(3+0)-stundige Vorlesung im Wintersemester 2004/2005 ¨ ¨ JORG SEILER

Inhaltsverzeichnis

1 Mannigfaltigkeiten 2 Tangentialraum und Differential 3 Tangentialb¨ ndel und Vektorfelder u 4 Lie-Gruppen und Lie-Algebren 5 Untermannigfaltigkeiten 6 Verteilungen und der Satz von Frobenius 7 Homomorphismen und Lie-Untergruppen 8 Die Exponentialabbildung 9 Die adjungierte Darstellung 10 Homogene Mannigfaltigkeiten 11 Literatur 3 4 8 12 16 19 23 30 38 43 51

2

1

Mannigfaltigkeiten

Definition 1.1 Es sei M = (M, τ ) ein Hausdorff-topologischer Raum, der dem zweiten Abz¨hlbarkeitsaxiom gen¨ gt1 . a u a) (U, x) heißt Koordinatensystem von M , falls U ⊂ M offen, x : U → Rn und x : U → V := x(U ) ein Hom¨omorphismus2 ist (d.h. x ist stetig, bijektiv und o −1 : V → U ). Die Komponenten x := x heißen hat stetige Umkehrabbildung x i i Koordinatenfunktionen. b) Eine differenzierbare Struktur F auf M ist eine Familie {(Uα , xα ) | α ∈ A} von Koordinatensystemen mit ¨ i) ∪α∈A Uα = M ( offene Uberdeckung“), ” u ii) xα ◦ x−1 : xβ (Uα ∩ Uβ ) → xα (Uα ∩ Uβ ) ist glatt3 f¨ r alle α, β, β iii) F ist maximal, d.h. ist (U, x) ein Koordinatensystem von M und sind x ◦ x−1 , α xα ◦ x−1 glatt f¨ r alle α ∈ A, so ist (U, x) in F. u c) M = (M, τ, F) heißt eine (glatte) Mannigfaltigkeit der Dimension n. Bemerkung 1.2 Jede Familie F0 = {(Uα , xα ) | α ∈ A} mit i) und ii) aus Definition 1.1.b) ist eindeutig erweiterbar zu einer differenzierbaren Struktur, n¨mlich durch a F := {(U, x) Koordinatensystem von M | x ◦ x−1 , xα ◦ x−1 glatt ∀ α ∈ A0 }. α Beispiel 1.3 a) Rn unter Vorgabe von F0 = {(Rn , id)} und der ublichen Topologie. ¨

b) V endlich-dimensionaler, reeller Vektorraum: Sei (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V und ∗ ∗ (v1 , . . . , vn ) die duale Basis4 von V ∗ = L(V, R). Nun F0 := {(V, x))} mit

∗ ∗ x(v) = (v1 (v), . . . , vn (v)).

Die resultierende differenzierbare Struktur ist wohldefiniert: F¨r jede andere Basis u −1 n → Rn linear. Topologisiere V durch die Wahl irgendeiner (v1 , . . . , vn ) ist x ◦ x : R Norm5 . c) Cn ∼ R2n . = d) Mn (R) := Menge aller (n × n)-Matrizen ∼ Rn . =

Beispiel 1.4

a) Offene Teilmengen: V ⊂ M mit FV = {(U ∩ V, x|U ∩V ) | (U, x) ∈ F}.

d.h. es gibt abz¨hlbar viele offene Mengen U1 , U2 , . . . mit folgender Eigenschaft: u jedem m ∈ M und a jeder offenen Umgebung U von m gibt es ein Uj mit m ∈ Uj ⊂ U . Beispiel: Kompakte metrische R¨ume. a 2 V mit der Spurtopologie 3 d.h. unendlich oft partiell stetig differenzierbar 4 ∗ d.h. vi (vj ) = δij (Kronecker-Symbol) 5 Auf endlich-dimensionalen R¨umen sind alle Normen ¨quivalent a a

1