- Titel: Mathematik für Informatiker I und II
- Organisation: UNI DORTMUND
- Seitenzahl: 308
Inhalt
- Aussagen, Mengen, Abbildungen, Relationen
- Aussagen
- Informelle Definition von Aussagen
- Logische Verknüpfungen
- Mengen
- Mengen und deren Beschreibungen
- Allquantor und Existenzquantor
- Mengenoperationen
- Mächtigkeit endlicher Mengen
- Abbildungen
- Abbildungsvorschrift, Definitions- und Bildbereich
- Bilder und Urbilder
- Eigenschaften und Komposition von Abbildungen
- Bijektive Abbildungen
- Mächtigkeit von Mengen
- Relationen
- Grundbegriffe und Notationen
- Verkettung und Inverse
- Äquivalenzrelationen
- Ordnungsrelationen
- Verbände
- Zahlbereiche
- Natürliche Zahlen, vollständige Induktion und Rekursion
- Axiome der natürlichen Zahlen
- Vollständige Induktion
- Rekursive Abbildungen
- Gruppen, Ringe, Körper
- Halbgruppen, Monoide, Gruppen
- Ringe
- Körper
- Homomorphismen
- Die komplexen Zahlen
- Primfaktorzerlegung und der euklidische Algorithmus
- Division mit Rest
- Der euklidische Algorithmus
- Primzahlen und Primfaktorzerlegung
- Modulare Arithmetik
- Addition und Multiplikation modulo m
- Einheiten und Inverse
- Nullteiler
- Chinesischer Restesatz
- Lineare Algebra
- Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
- Das Gauß’sche Eliminationsverfahren
- Matrizenrechnung
- Vektorräume
- Definition
- Teilräume
- Linearkombinationen und Erzeugendensysteme
- Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit
- Basen
- Dimension
- Eine Anwendung
- Lineare Abbildungen und Matrizen
- Lineare Abbildungen
- Isomorphismen
- Kern und Bild
- Homomorphiesatz
- Rang einer Matrix
- Eine Anwendung
- Matrix einer linearen Abbildung
- Basiswechsel
- Algebra der linearen Abbildungen
- Die volle lineare Gruppe
- Determinanten
- Alternierende Multilinearformen
- Analysis
- Folgen und Reihen
- Die Vollständigkeit der reellen Zahlen
- Folgen
- Reihen
- Potenzreihen
- Exponentialfunktion und Logarithmus
- Landau-Symbole
- Stetige Funktionen
- Berührungspunkte
- Grenzwerte von Funktionen
- Stetigkeit
- Elementare Funktionen
- Nullstellensatz und Zwischenwertsatz
- Differenzialrechnung
- Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen
- Ableitungsregeln
- Mittelwertsätze und Extrema
- Taylorreihen
- Funktionen mehrerer Veränderlicher
- Integralrechnung
- Das Integral einer Treppenfunktion
- Riemann-integrierbare Funktionen
- Integration und Differentiation
- Integrationsregeln
- Uneigentliche Integrale
- Differentialgleichungen
- Lineare Differentialgleichungen
- Eine nichtlineare Differentialgleichung
- Lineare Schwingungsgleichung
- Kombinatorik und Graphentheorie
- Abzählende Kombinatorik
- Einige elementare Zählprinzipien
- Binomialkoeffizienten
- Auswahlen aus einer Menge
- Ein- und Ausschließen
- Partitionen und Stirlingzahlen zweiter Art
- Stirlingzahlen erster Art
- Zerlegungen einer natürlichen Zahl
- Rekursion und erzeugende Funktionen
- Formale Potenzreihen und erzeugende Funktionen
- Lineare Rekursionsgleichungen
- Graphentheorie
- Grundlegende Begriffe der Graphentheorie
- Zusammenhängende Graphen und Euler-Touren
- Bäume und Wälder
- Algebra
- Gruppentheorie
- Untergruppen und erzeugte Untergruppen
- Gruppenordnungen und der Satz von Lagrange
- Der Homomorphiesatz für Gruppen
- Ringtheorie
- Faktorringe und Ideale
- Polynomringe
- Größter gemeinsamer Teiler in Polynomringen
Vorschau
Skript zu den Vorlesungen
¨ Mathematik fur Informatiker I und II
(WiSe 2007/08 und SoSe 2008)
gehalten von: Frank Lutz Lehrstuhl fur Diskrete Optimierung ¨ Fachbereich Mathematik a Universit¨t Dortmund frank.lutz@math.uni-dortmund.de
Autor: Martin Skutella Lehrstuhl fur Diskrete Optimierung ¨ Fachbereich Mathematik Universit¨t Dortmund a martin.skutella@uni-dortmund.de
(Version vom 15. Oktober 2007)
Vorwort
Das vorliegende Skript entstand im Winter- und Sommersemester 2005/06 w¨ha rend ich die Vorlesungen Mathematik f¨r Informatiker I und II“ an der Univeru ” sit¨t Dortmund hielt. Ich habe versucht, die wichtigsten Punkte der behandelten a Themen darin zusammen zu stellen, um den H¨rerinnen und H¨rern einen Leito o faden f¨r die Nachbereitung der Vorlesung an die Hand zu geben. Das Skript u erhebt nicht den Anspruch eines Lehrbuchs hinsichtlich Exaktheit, Vollst¨ndiga keit und Pr¨sentation der Themen. Ich m¨chte beispielhaft auf einige Lehrb¨cher a o u verweisen, die beim weiteren Studium der Materie hilfreich sein k¨nnten. o • M. Aigner. Diskrete Mathematik. Vieweg Verlag, 2004. • M. Brill. Mathematik f¨r Informatiker. Hanser Verlag, 2001. u • D. Hachenberger. Mathematik f¨r Informatiker. Pearson Studium, 2005. u • P. Hartmann. Mathematik f¨r Informatiker. Vieweg Verlag, 2004. u • G. Rosenberger. Lineare Algebra und algebraische Strukturen f¨r Informau tiker. Shaker Verlag, 2002. • A. Steger. Diskrete Strukturen (Band 1). Springer Verlag, 2001. • M. Wolff, P. Hauck und W. K¨chlin. Mathematik f¨r Informatik und Biou u informatik. Springer Verlag, 2004. Dar¨ber hinaus gibt es nat¨rlich eine Vielzahl weiterer Lehrb¨cher, auf die ich u u u hier jedoch nicht n¨her eingehe. a Teile dieses Skripts basieren auf Skripten und Aufzeichnungen zu fr¨heren u Vorlesungen an der Universit¨t Dortmund, die mir meine Kollegen freundlichera weise zur Verf¨gung gestellt haben. Mehr dazu findet sich zu Beginn der entu sprechenden Kapitel. Die Assistenten der beiden Vorlesungen, Ronald Koch und Sammy Barkowski, haben mit zahlreichen wertvollen Text- und Bildbeitr¨gen, a Hinweisen und Verbesserungsvorschl¨gen wesentlich zum Gelingen des Skripts a beigetragen. Daf¨r sei ihnen ganz herzlich gedankt. u iii