Mathematik für Physiker

• Titel: Mathematik für Physiker
• Organisation: UNI OSNABRUECK
• Seitenzahl: 606

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Inhalt

• Vektoren
• Motivation
• Physikalische Aspekte
• Mathematische Aspekte
• Grundlagen
• Kartesische Darstellung
• Betrag
• Einheitsvektor
• Einfache Vektoralgebra
• Krummlinige Koordinatensysteme
• Polarkoordinaten
• Einschub
• Ebener Winkel
• Raumwinkel
• Zylinderkoordinaten
• Kugelkoordinaten
• Produkte von Vektoren
• Skalarprodukt (inneres Produkt)
• Vektorprodukt (Kreuzprodukt, äußeres Produkt)
• Spatprodukt (gemischtes Produkt)
• Mehrfachprodukte
• Anwendungen für Produkte von Vektoren
• Geometrische Interpretation und Anwendungen
• Winkel zwischen zwei Vektoren
• Skalarprodukt
• Fläche des aufgespannten Parallelogramms
• Darstellung einer Fläche mit Hilfe des Normalenvektors
• Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor
• Projektion eines Vektors auf eine Ebene
• Volumen eines Spats
• Physikalische Anwendungen
• Arbeit
• Wenn’s mal rund geht
• Bewegung einer Ladung im elektromagnetischen Feld
• Mathematische Ergänzung
• Geometrische Grundzutaten
• Lineare Gleichungen
• Systeme linearer Gleichungen
• Vektorräume
• Was ist ein Vektor?
• Definition des Vektorraums
• Unterräume
• Wie viele Vektorräume gibt es?
• Abstandsmessung im Vektorraum
• Länge und Abstand
• Im Euklidischen Raum
• Allgemeine Definition
• Pythagoras revisited
• Nicht-geometrische Anwendungen
• Polynome
• Differentialgleichungen
• Potenzreihen
• Orthogonale Funktionen
• Vektoren in MatLab
• Darstellung von Vektoren
• Addition und Subtraktion
• Andere Koordinatensysteme
• Vektorprodukte
• Folgen und Reihen
• Motivation
• Folgen
• Monotonie
• Beschränktheit
• Grenzwert und Konvergenz
• Häufungspunkte
• Grenzwert
• Konvergenz
• Reihen
• Konvergenz
• Geometrische Reihe
• Harmonische Reihe
• Alternierend harmonische Reihe
• Tests für Konvergenz
• Vergleichstest
• Leibniz Kriterium für alternierende Reihen
• Quotienten Kriterium
• Potenzreihen Entwicklung
• Potenzreihen
• Taylor Entwicklung
• MacLaurin Reihe
• Exponentialreihe
• Trigonometrische Funktionen
• Weitere Reihen
• Mathematische Ergänzungen
• Vollständige Induktion
• Direkter Beweis
• Indirekter Beweis (Beweis durch Widerspruch)
• Gegenbeispiel
• DaVinci decoded? Kaninchen, golden geschnitten
• Fibonacci Zahlen
• Goldener Schnitt
• MatLab Ergänzungen
• Schleifen am Beispiel einer Folge
• For-Schleife
• While-Schleife
• Der Überblick ist gewünscht
• Reihen
• Nur das letzte Glied interessiert
• Die Reihe im Überblick
• Speichern und Plotten
• Funktionen
• Motivation
• Grundlagen
• Definition
• Darstellung von Funktionen
• Grundbegriffe
• Beschränktheit
• Nullstellen
• Gerade und ungerade Funktionen
• Monotonie
• Grenzwert
• Polstelle
• Regel von l’ Hôpital
• Stetigkeit
• Vektorwertige Funktionen
• Wichtige Funktionen in der Physik
• Exponentialfunktion und Logarithmus
• Trigonometrische Funktionen
• Hyperbolische Funktionen
• Signum Funktion
• Mathematische Ergänzung
• Logarithmus und Exponentialfunktion mathematisch gesehen
• Natürlicher Logarithmus
• Exponentialfunktion
• Trigonometrische Funktionen aus mathematischer Sicht
• Winkel als Fläche unter dem Kreisbogen
• als Reihe
• Winkelfunktionen
• MatLab
• Fine-Tuning
• Achsenparameter
• Text innerhalb der Abbildung
• Linear oder Logarithmisch?
• Mehrere Kurven in ein Bild
• Plots mit zwei y-Achsen
• Funktionen in Parameterdarstellung
• Im Vorgriff aus Praktikum
• Ergänzung
• eval und feval
• Funktionen mehrerer Variablen
• Definition
• Grundbegriffe
• Beschränktheit
• Grenzwert
• Stetigkeit
• MatLab
• Funktionen als Flächen im 3D
• Graphical User Interface (GUI)
• Funktionen als Linien im 3D
• Differentialrechnung
• Motivation
• Differentiation von Funktionen einer Variablen
• Differenzenquotient
• Differential und Differentialquotient
• Differentialquotient
• Differenzierbarkeit
• Höhere Ableitungen
• Differential
• Anmerkung Notation
• Eine einzige Ableitungsregel genügt
• Wichtige Sätze
• Satz von Rolle
• Mittelwertsatz
• Handwerkszeug
• Wichtige Ableitungen
• Grundregeln des Differenzierens
• Funktionen in impliziter Form
• Ableitung einer in Parameterform dargestellten Funktion
• Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen
• Partielle Ableitung
• Anschaulich
• Verallgemeinerung
• Rechenregeln und höhere Ableitungen
• Stationäre Punkte
• Gradient
• Felder
• Skalarfelder
• Vektorfelder
• Spezielle Felder
• Definition Gradient
• Rechenregeln für den Gradienten
• Gradient in krummlinigen Koordinaten
• Spezielle Felder
• Richtungsableitung
• Totales und partielles Differential
• Differentiation vektorwertiger Funktionen
• Komponentenweises Differenzieren
• Rechenregeln
• Einfache physikalische Beispiele
• Koordinatensysteme
• Allgemeine Koordinatentransformation
• Polarkoordinaten
• Zylinderkoordinaten
• Kugelkoordinaten
• Jacobi Determinante
• Differentialrechnung in MatLab
• Nullstellen
• Numerische Differentiation
• Extrema
• Felder und Gradienten
• Integration
• Motivation
• Integration von Funktionen einer Variablen
• Bestimmtes und unbestimmtes Integral
• Mittelwertsatz der Integration
• Handwerkszeug
• Grundintegrale
• Integrationsregeln
• Ein einziges Integral genügt
• Mehrfachintegrale
• Doppelintegrale
• Doppelintegral in kartesischen Koordinaten.
• Doppelintegral in Polarkoordinaten.
• Dreifachintegrale
• Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten.
• Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten.
• Dreifachintegral in Kugelkoordinaten.
• Integration vektorwertiger Funktionen
• Riemann Integral
• Im Vorgriff auf das Linienintegral
• Numerische Integration in MatLab
• Mittelpunktsformel
• Trapezformel
• Simpson Regel
• Adaptives Simpson-Verfahren
• Weitere MatLab Funktionen
• GUI zur numerischen Integration
• Numerische Integration von Messwerten
• Monte-Carlo Integration
• Kann ein Zufall deterministisch sein?
• Komplexe Zahlen
• Motivation
• Grundlagen
• Definitionen
• Darstellung in der komplexen Ebene
• Sind komplexe Zahlen Vektoren?
• Euler Formel
• Herleitung
• Darstellung trigonometrischer Funktionen durch die Exponentialfunktion
• Mathematische Anwendungen
• Physikalische Anwendungen
• Darstellung von Wechselgrößen
• Reihenschaltung Widerstand und Kondensator
• Serienschwingkreis
• Komplexe Zahlen mathematisch
• Natürliche Zahlen
• Inverses Element und abelsche Gruppe
• Der Körper der komplexen Zahlen
• Komplexe Zahlen ohne imaginäre Zahl
• Funktionen mit komplexen Argumenten
• War’s das oder kommen noch mehr Zahlen?
• Schneeflocke trifft Apfelmännchen an Küstenlinie
• Selbstähnlichkeit
• Und was hat das mit komplexen Zahlen zu tun?
• Komplexe Zahlen in MatLab
• Darstellungsformen
• Rechnen mit komplexen Größen
• Plotten komplexer Größen
• Gewöhnliche Differentialgleichungen
• Motivation
• Zwei Beispiele aus der Physik
• Mathematische Motivation
• Übersicht
• Definition und Begriffe
• Integrationskonstanten und Anfangsbedingungen
• Ordnung im Zoo
• Differentialgleichungen 1. Ordnung
• Lineare homogene DGL erster Ordnung
• Separation der Variablen
• Separation der Variablen bei konstantem Summanden und konstanten Koeffizienten
• Exponentialansatz
• Lineare inhomogene DGL erster Ordnung
• Variation der Konstanten
• Aufsuchen einer partikulären Lösung
• Differentialgleichungen 2. Ordnung
• Lösung der homogenen DGL
• Charakteristische Gleichung und Eigenwerte
• Lösung der inhomogenen DGL
• DGL zweiter Ordnung am Beispiel des Federpendels
• Harmonischer Oszillator
• Allgemeine ortsabhängige Kraft
• Darstellung im Phasenraum
• Gedämpfte Schwingung
• Schwingfall (schwache Dämpfung)
• Kriechfall (starke Dämpfung)
• Aperiodischer Grenzfall
• Erzwungene Schwingung
• Lösung einer DGL durch eine Potenzreihe
• Schwingungsgleichung als Beispiel
• Gewöhnlicher Punkt und Normalform
• Ein Wort der Vorsicht
• Mathematische Ergänzung
• Vollständigkeit der Lösung
• Inhomogene Differentialgleichung
• DGL zur Definition einer Funktion
• DGL zur Definition von Polynomen
• Fourier Reihen
• Exkursion JPEG
• Gewöhnliche Differentialgleichungen in der Physik
• Differentialgleichung erster Ordnung
• Zerfallstyp
• Zerfallstyp mit additiver Konstante
• Ein nicht-lineares Beispiel
• Differentialgleichungen zweiter Ordnung
• Schwingungsgleichung
• Nicht jeder DGL 2ter Ordnung beschreibt eine Schwingung
• Bewegung einer Ladung im elektromagnetischen Feld
• Numerische Verfahren
• Die Idee
• Homogene DGL 1. Ordnung
• Differentialgleichung 2. Ordnung
• Numerische Integration (von DGLs)
• Euler Verfahren
• Euler Vorwärts
• Euler Rückwärts
• Crank–Nicolson Verfahren
• Leapfrog Verfahren
• Runge–Kutta Verfahren 4. Ordnung
• Monte Carlo Verfahren
• Mathematische Anmerkungen
• Diskretisierung
• Konsistenz und Genauigkeit
• Stabilität
• Anwendung dieser Begriffe auf die diskutierten Schemata
• Gewöhnliche Differentialgleichungen in MatLab
• Grundidee numerische Verfahren handgestrickt
• Euler’sches Streckenzugverfahren
• Euler Vorwärts
• Euler Rückwärts
• DGL 2. Ordnung
• Leapfrog Verfahren
• Runge–Kutta Verfahren 4. Ordnung
• Etwas MatLab-Tuning
• Alternative zur Eingabe einer Funktion
• Interaktiv statt Skript
• MatLab-Solver
• Lösungsverfahren
• Die wichtigsten Verfahren
• Vergleich aller Verfahren
• Steife Differentialgleichungen
• Ein simples GUI
• Matrizen
• Motivation
• Mathematische Aspekte
• Physikalische Aspekte
• Mathematische Aspekte, Teil 2
• Rechentechnik
• Grundbegriffe
• Quadratische Matrizen
• Transponierte
• Matrixaddition
• Matrixmultiplikation
• Rechenregeln für die Matrixmultiplikation
• Dyadisches Produkt
• Determinanten
• Unterdeterminanten
• Rechenregeln
• Reguläre und orthogonale Matrizen
• Inverse Matrix
• Komplexe Matrizen
• Eigenwerte und Eigenvektoren
• Mathematische Grundlagen
• Lineare Abbildungen
• Eindeutigkeit und Inverse Matrix
• Eigenwerte und -vektoren
• Symmetrische Matrizen
• Matrizen und Projektionen.
• Eigenvektoren und Projektionen.
• Eigenvektoren und inverse Matrix.
• Hauptachsentransformation
• Tensoren
• Anwendungen
• Zum Aufwärmen
• Transformationen
• Euler Winkel
• Transformation auf krummlinige Koordinaten
• Lorentz Transformation
• Trägheitstensor und Hauptachsentransformation
• Trägheitstensor
• Hauptachsentransformation
• Systeme gekoppelter Differentialgleichungen
• Radioaktiver Zerfall
• Gekoppelte Pendel
• Deep Blue legt Hand an
• Matrizen in MatLab
• Verallgemeinerte Funktionen
• Motivation
• Die Dirac’sche Delta Funktion
• Annäherungen
• Eindimensionale Delta Funktion
• Eigenschaften der Delta Funktion
• Delta Funktion einer Funktion
• Differenzieren und Integrieren
• Ladungsdichteverteilung als physikalisches Beispiel
• Delta Funktion in drei Dimension
• Gamma Funktion
• Error Funktion
• Mathematische Ergänzungen
• Verallgemeinerte Funktionen in MatLab
• Vektoranalysis
• Motivation
• Differentiation
• Divergenz
• Divergenz in krummlinigen Koordinaten
• Typische Felder
• Beispiele
• Rechenregeln
• Laplace Operator
• Rotation
• Krummlinige Koordinaten
• Typische Felder
• Rechenregeln
• Rotation anschaulich
• Nabla Operator zusammen gefasst
• Integration
• Parametrisierung von Linien und Flächen
• Darstellung ebener und räumlicher Kurven
• Die Bogenlänge
• Tangenten- und Normalenvektoren
• Flächen im Raum
• Flächen vom Typ z = f(x,y)
• Linienintegral
• Konservative Felder
• (Ober-)Flächenintegral
• Integralsätze
• Gauß’scher Integralsatz
• Stokes’scher Integralsatz
• Rotation und Wirbelstärke
• Stokes’scher Integralsatz
• Mathematische Ergänzungen
• Anwendungsbeispiele
• Kontinuitätsgleichung
• Maxwell’sche Gleichungen
• Konservative Felder
• Partielle Differentialgleichungen
• Motivation
• Schwingende Saite
• Elektromagnetische Welle
• Mathematische Motivation
• Ordnung im Zoo
• Beispiele für partielle Differentialgleichungen
• Randbedingungen
• Separationsansatz
• Wellengleichung
• Eindimensionale Wellengleichung
• Allgemeine Lösung der 1D-Wellengleichung
• Zweidimensionale Welle
• Zweidimensionale Welle
• Schwingende Kugeloberflächen
• Laplace Gleichung
• Stationärer Wärmestrom
• Poisson Gleichung
• Elektrostatisches Potential einer Punktladung.
• Green’sche Funktion und allgemeine Ladungsverteilung.
• Potential einer kugelsymmetrischen Ladungsdichte
• Multipolentwicklung.
• Anmerkung zur Wellengleichung.
• Diffusion
• Diffusionsgleichung
• Random Walk und mittleres Abstandsquadrat
• Eindimensionale Diffusionsgleichung
• Allgemeine Lösung der 1D Diffusionsgleichung
• Dreidimensionale Diffusionsgleichung
• Separationsansatz
• Mathematische Ergänzungen
• PDGLs in MatLab
• Statistik
• Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Kombinatorik
• Permutationen
• Kombinationen
• Variationen
• Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Grundbegriffe
• Wahrscheinlichkeit
• Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Bayes’sche Formel
• Verteilungsfunktionen
• Grundbegriffe
• Kenngrößen einer Verteilung
• Binominal Verteilung
• Poisson-Verteilung
• Gauß’sche Normalverteilung
• Entropie und Maxwell Boltzmann-Verteilung
• Information und Entropie
• Informationsgehalt bei gleichwahrscheinlichen, unabhängigen Symbolen (Laplace-Experiment)
• Informationsgehalt bei Symbolen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit
• Entropie und Shannon-Funktion.
• Eigenschaften der Entropie.
• Maximale Unbestimmtheit
• Maxwell Boltzmann-Verteilung
• Fehlerrechnung (deskriptive Statistik)
• Charakterisierung von Messdaten
• Verteilung, Mittelwert und Varianz
• (Normalverteilte) Messwerte
• ‚Zählen‘ und Poisson-Verteilung
• Mittelwert und Standardabweichung aus den Messwerten
• Vertrauensbereich für den Mittelwert
• Fehlerfortpflanzung
• Ausgleichsrechnung
• ‚Kochbuch‘
• Andere Ansätze für Ausgleichs- oder Regressionskurven
• Lineare Regression unter Berücksichtigung der Messfehler
• Rang-Korrelation (Nicht-parametrische Korrelationen)
• Schließende Statistik
• Nützliches
• Formelzeichen
• Abkürzungen
• Mathematische Symbole
• Allgemeines
• Mengenlehre
• logische Verknüpfungen
• MatLab
• Getting Started
• MatLab als Taschenrechner
• Definition von Variablen
• Beispiel
• Variablennamen
• Vektoren
• Grundrechenarten
• Beispiel
• Punktweise Multiplikation
• Funktionen
• m-Files
• m-Files als Skript
• m-File als Funktion
• Speichern und Lesen
• Load
• Save
• Nützliche und weniger nützliche Tabellen
• Grundlagen
• Fallgrube Variablennamen
• Zahlenformate
• Elementare mathematische Operationen
• Vergleichsoperationen
• Polynome
• Gewöhnliche Differentialgleichungen
• Matrizen
• Vektoranalysis
• Partielle Differentialgleichungen
• Statistik
• Graphische Darstellung allgemein
• MatLab Skipte, Funktionen und GUIs
• GUI plottest_popup
• Main
• Sub
• GUI num_int
• Main
• Sub
• Func
• Func
• Func
• Numerische Verfahren handgestrickt
• Skript
• Func
• Skript
• Func
• Skript
• Func
• Skript
• Func
• Func
• GUI zur numerischen Integration einer DGL
• Func
• Func
• Func
• Erste Hilfe
• Binome, Potenzen, pq-Formeln
• Binome
• Quadratische Gleichung
• Umgang mit Potenzen
• Elementares Differenzieren
• Wozu?
• Wie?
• Ableitungen elementarer Funktionen
• Ableitungsregeln zusammen gefasst
• Beispiele Produktregel
• Beispiele Kettenregel
• Beispiel Produkt und Kettenregel kombiniert
• Extremwertaufgaben
• Elementares Integrieren
• Wozu?
• Wie?
• Integrale elementarer Funktionen
• Integrationsregeln
• Beispiele Substitution
• Beispiele partielle Integration
• Nullstellen und bestimmtes Integral
• Fläche zwischen zwei Kurven
• Rotationskörper
• Integralrechnung
• Lösungen zu Fragen und Aufgaben

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