Mathematische Modellierung

Titel: Mathematische Modellierung
Organisation: UNI MUENSTER
Seitenzahl: 53

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Inhalt

Skriptum zur Vorlesung
Grundprinzipien der Mathematischen Modellierung
Wahl der Skalen und Beschreibung
Modellverfeinerung Parameteradaption Interpretation der Lösung
Vergleich mit realen Daten
Präsentation der Ergebnisse
Abbildung Schematische Darstellung des Modellierungszyklus
Dimensionlose Variable und Skalierung
Flughöhe Vereinfacht V kms V kms V kms
qx t nx dSx
Die Wrmeleitungsgleichung a
fr eine gegebene Anfangstemperatur u u
Besonders interessant sind zwei Grenzwerte von
auassen Es gilt dann dS dt ln u
u ist in diesem Fall
dh der Prozess ist irreversibel
Abbildung Schematische Darstellung des StefanProblems
erhalten wir daraus d dt u
dx ut t ut t
L d t t t t c dt
Fi ri t t F t
Der Gesamtdrehimpuls L dL dt
ri rj Hij ri rj ri rj
ri rj Hij ri rj M ri rj
pi dpi mi dt
dri dpi dt dt pi dpi mi dt
d Vij ri rj W dt
und die weiteren Aussagen lassen sich analog herleiten
Teilchenmechanik in Festkrpern o
ui ui ui H
Von der Teilchenmechanik zum Kontinuum
mi h ri t x
mi x ri th x dx x
pi th ri t x
dri th ri t x dt
pi th ri t x
Fi ri t th ri t x
Fr den zweiten Term erhalten wir u
pi t h ri t x
dri t div dt
u u t Das Symbol
Mit dem Transporttheorem folgt wieder
Oder in dierentieller Form
bzw oder in Erhaltungsform
uj ui xj xi
kinetische E innere E
u e dx f u dx
Leistung der Ober
chenkrfte a a
Mit dem Satz von Gauß gilt
Gleichungen der Stromungsmechanik
uut dx uu uu
p u dx u p dx
d Ekin t dt
bzw d Ekin t dt
ui ui n dS
Insgesamt erhalten wir das folgende Bild der Modellhierarchie
erhlt man nach Multiplikation mit a u LU
ux y wirbelfrei whrend die Kanalstrmung a o
wirbelbehaftet ist Mittels der Identitt a
dh im gesamten Strmungsgebiet ist o
Akustik und Elektromagnetik
Die akustische Wellengleichung
div u t u a t
wobei uk sind wir x t man n
Abbildung Streuung an einem Hindernis
Schallharte Randbedingung lengeschwindigkeit
entspricht der Wandhaftbedingung fr die Welu
inu Der Wert heisst akustische Impedanz
bzw durch partielle Integration div D dx
Potentialgleichung und Transversalwellen

Vorschau

Skriptum zur Vorlesung

Mathematische Modellierung

Wintersemester 2006/2007

Martin Burger

Institut fur Numerische und Angewandte Mathematik ¨ martin.burger@uni-muenster.de http://www.math.uni-muenster.de/u/burger/

1 Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2 Grundprinzipien der Mathematischen Modellierung 2.1 Modellierungszyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dimensionlose Variable und Skalierung . . . . . . . . . 2.3 Sensitivit¨tsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.4 Modellvereinfachung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 W¨rmeleitung a 3.1 Thermodynamik . . . . . . 3.2 Transport . . . . . . . . . . 3.3 Materialgesetze . . . . . . . 3.4 Die W¨rmeleitungsgleichung a 3.5 Phasen¨berg¨nge . . . . . . u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 5 7 10 11 13 13 14 15 15 19 21 21 25 26 29 36 45 45 47 48 50 51

4 Mechanik 4.1 Teilchenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Teilchenmechanik in Festk¨rpern . . . . . . o 4.3 Von der Teilchenmechanik zum Kontinuum 4.4 Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . 4.5 Gleichungen der Str¨mungsmechanik . . . . o 5 Akustik und Elektromagnetik 5.1 Die akustische Wellengleichung . . . . . . 5.2 Die Helmholtz-Gleichung . . . . . . . . . . 5.3 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . 5.4 eitharmonische Wellen . . . . . . . . . . 5.5 Potentialgleichung und Transversalwellen . . . . .

Kapitel 1

Einleitung

Die Herleitung, Analysis, numerische Simulation, mathematischer Modelle von realen Prozessen ist die Grundaufgabe der modernen angewandten Mathematik. Selbst wenn man sich nur f¨r Teilaspekte davon interessiert, ist es meist wichtig, die Bedeutung und Struktur der u zu Grunde liegenden mathematischen Modelle zu verstehen. usammen mit den Vorlesungen Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften und Mathematische Modelle in den Wirtschaftswissenschaften soll diese Vorlesung eine Einf¨hrung in die wichtigsten mathemau tischen Modelle verschiedener Anwendungsgebiete geben sowie die Grundlagen f¨r eine Reihe u weiterf¨hrender Lehrveranstaltungen bereit stellen (siehe die Auﬂistung im Anhang). u Als ein mathematisches Modell kann man grunds¨tzlich jede berechenbare (in determia nistischem oder stochastischem Sinn) Menge mathematischer Vorschriften, Gleichungen und Ungleichungen bezeichnen, die einen Aspekt eines realen Vorgangs beschreiben sollen. Dabei sollte man sich von vornherein bewusst sein, dass es sich bei einem Modell immer um eine Vereinfachung handelt, und der reale Vorgang so gut wie nie in seiner vollen Komplexit¨t a beschrieben wird. Die erste Unterscheidung erfolgt in • qualitative Modelle, d.h., Modelle, die prinzipiell die Struktur eines Prozesses beschreiben sollen und gewisse qualitative Voraussagen (etwa uber langfristige Geschwindigkeit ¨ von Wachstum) erm¨glichen sollen, aber keine expliziten Werte f¨r die Variablen des o u Systems liefern. • quantitative Modelle, d.h., Modelle, die f¨r quantitative Voraussagen der Werte von u gewissen Variablen benutzt werden sollen. Qualitative Modelle verwendet man oft in den Wirtschaftswissenschaften (z.B. um die Dynamik der Preisbildung zu verstehen) und auch in manchen Naturwissenschaften wie der ¨ Okologie (ein qualitatives Modell kann gen¨gen um zu verstehen, ob sich ein ¨kologisches u o Gleichgewicht ausbildet oder ob es zu einer m¨glichen Katastrophe kommt). Im Allgemeinen o bevorzugt man in Naturwissenschaft und Technik aber quantitative Modelle, und auch wir werden uns im Laufe dieser Vorlesung mit solchen besch¨ftigen. a Bevor man ein mathematisches Modell entwickelt oder bestehende Modelle auf einen speziellen Prozess anwendet, sollte man sich Klarheit uber die (Orts- und eit-) Skalen verschaﬀen, ¨ auf denen man den Prozess betrachtet, und jene Skalen, die darauf eine Einwirkung haben. So werden etwa f¨r die Beschreibung einer Strassenbeleuchtung quantenmechanische Eﬀekte u kaum von Bedeutung sein, andererseits k¨nnen zum Beispiel bei einer turbulenten Str¨mung o o sehr kleine Wirbel die gesamte Dynamik stark beeinﬂussen. Die Reduktion auf sogenannte 3