Stochastische Finanzmathematik

Titel: Stochastische Finanzmathematik
Organisation: UNI FRANKFURT
Seitenzahl: 115

Inhalt

Vorlesungsskript Stochastische Finanzmathematik
Christoph Kuhn aktuelle Version Februar
Grundlagen Bedingter Erwartungswert
Modellierung arbitragefreier Finanzmrkte a
Ausug in eine Welt mit unendlich vielen Wertpapieren
Derivatebewertung und Hedging Portfoliooptimierung
Risikomaße Neutrale Derivatebewertung Amerikanische Optionen
Fr T und t bedeutet dies u F
Ai fr ein J I u
formal durch eine absolut konvergente Reihe denieren EY
wenn P Ai sonst
Atomen gibt Deniere A
n N approximiert
P fast sicher
MODELLIERUNG ARBITRAGEFREIER FINANZMARKTE
Y Y Y
Hs Ks s HK t
s ist H t
EH t Ft E
Hs s Ft Hs s Ht E t Ft
E s Fs und Mt
d i i i St t
Also V v Da S ist
i EQ Sti Fs Ss
Man beachte dass
i d Dh kein
Wertpapier wird gleichzeitig von und
Sei x der Punkt
ST VT Nach Proposition iii
S aber ein QMartingal also gilt EQ
ST und wegen Nichtnegativitt a
und x x K
i Sti Vt Vt dass
i i i St t
a l beschrnkte
Handelsstrategien beschrnken dh a
EQ i Sti t
ist gegeben durch S und
wenn i i S wenn i sonst
Betrachte den Fall dass eintritt Es gilt
i i S i k
DERIVATEBEWERTUNG UND HEDGING
Derivatebewertung und Hedging
i i H ST K St K
Option auf die Aktie i
Grundidee der Derivatebewertung
wenn Tag gut
wenn Tag schlecht
DERIVATEBEWERTUNG UND HEDGING t Bond
Aktien und Bonds
hs hg hg hs
wenn Tag mittel
keine Lsung o
Dh die diskontierten Derivatepreisprozesse
sind QMartingale Me S S d
Ft sind QMarkt
Ft und Q ist Martingalmaß bzgl des
mit Preisprozessen S d S dk mglich o
S S d t dh der er
fr alle U Da nach Voru
H U Also EQ H EQ H Aus
in Satz stimmt EQ nur ein AMM
P A x AT xT
P Ai xi pixi u pixi d
Ai ist die stochastische Rendite
in der iten Periode Bei der Rendite
q ft A At u q
ft A At u rt t Ai i
Ai ft A At u rt
und fr At d u Ht St
Ft dann gibt es nach Satz
H rT ST H rT
St rT t EQ ST K Ft
St rT t EQ ST K Ft T
von Satz gilt
ft A At d
EVT v und VarVT zur Optimalitt von a
d i i i ES und d
j i i j CovS S
unter der Nebenbedingung
oder quivalent a
i i ES CovS V
ist groß und ist klein
Einschub Lokalisierung und Maßwechsel
dQ dP dQ dP dQ dP
die RadonNikodymAbleitung von Q nach P
A F Insbesondere gilt EP
dQ dP dQ dP
k QAk k EP Ak ZT
EP HZT Ft Zt
EP HZT Ft Zt
EP EP EP EP EP
EP A HZT EQ A H
PORTFOLIOOPTIMIERUNG u Damit erfllt die Zufallsvariable
die Bedingungen die den bedingten Erwar
EP A t s ZT
Y EP u EP uY
als die Risikoaver
b u VT b E u VT
muss nicht die
Nach Proposition und Proposition
ST A St Ss Nach dem
ST A St Ss bzw
iA bekannt Man
fr x A xT AT u
a abhngt sondern vom gesamten Kursverlauf
a rmer zu sein Man
PORTFOLIOOPTIMIERUNG Zeitlich homogenes Marktmodell
t T i d
PORTFOLIOOPTIMIERUNG Beweis Es gilt
Vj Aj Vj Vj
Ai Damit ist gezeigt dass V j
p Aj v pT u VT
Des weiteren setze
Aj p E At p Ft
Aj p E A p
Aj p t T
eine erwartungsnutzenoptimale Strategie und Vt v p
dP pt Aj p Lt dP j
Dies heißt dass zum
Geldeinheiten konsumiert werden
kt u ct ct ct
kt u cT ct ct
Die letzte Ungleichung gilt wegen v ST
kt ct und v ST
bzw ct ct
durch so folgt insgesamt
i E u ct A Sti St
i t Vt i St
St der Vermgensprozess zu einer Strategie Es o
Vt Vt Vt Vt t St Vt
i i Vt t t
Wir schreiben wieder
mit der Konvention
T j t i t Vt i St
wird nun zwischen und t am Markt investiert
resultierende Vermgen zum Zeitpunkt o
ten Prozess mit t
j Aj t At v
Vt t At Vt t St ct kt
Ai Beachte dass VT mit j
PORTFOLIOOPTIMIERUNG der Konvention
Des weiteren gilt V
dh V ist der zu c gehrige o
Ai t Ft t At
i S Ft ct t
Also sind auch die Prozesse
i d Martingale Des weiteren gilt VT Damit
gegen eine Zufallsvariable und
gegen ein mit
Varianz Kovarianz Y VarianzY Varianz Varianz VarianzY VarianzY
EP A Y P A
Lt max Sj c t c j t
Yn eine Version des essentiellen
a a Amerikanische Optionen in vollstndigen Mrkten
Ad ii auch klar
Q Ut Lt EQ UtQ Ft Ut
UtQ mit der Konvention
Außerdem gilt fr alle Ft messbaren Zufallsvariablen u
Marktes gibt es eine Darstellung Mu folgt UtQ
u jt Q j Sj Uu Lu
Su dh Mu Mt
AMERIKANISCHE OPTIONEN Lemma
UtQ Ft UtQ EQ UtQ Ft Ft
EQ UtQ EQ UtQ Ft Ft
Amerikanische Optionen in unvollstndigen Mrkten a a
d d auf der Menge St Lt t
ST Deniere fr u
S S d ein P
Std fr alle u
Damit ist S d ein P Supermartingal
Optimale Ausubung einer amerikanischen Option
very deep in the
very deep out of the
Zeitwert dh x Insgesamt folgt
fr x x KdT u
Hedging fur amerikanische Claims
ist ein QSupermartingal Seine Sprnge lassen sich u
ergibt sich dann durch t t
EP Y G dP Da EP Y G
EP F Y G EP Y G
E F Y EP Y G P
S der durch eine
Ut ess supQQ Lt EQ UtQ Ft
Lt ess supQQ EQ UtQ Ft
tungswerte zeigt dass ess supQQ EQ UtQ Ft
ess supQ ess supQ ess supQ
supQQt Q EQ UtQ Ft
lim EQ UtQk Ft Ut Ft
Zusammen mit beweist dies die Rekursion
Q EQ Ut Ft Ut
A St Q ist also
Dies ist aber ein Widerspruch zu
Korollar Es gilt I U wobei U
Fr europische Claims gilt u a
Beweis Sei x I dh sd x
S L Da der Prozess x
St Ut Lt t T
Minimierung des HedgingFehlers in unvollstndia gen Mrkten a
loc Rt C EP Ct Ct Ft
i CovVt t St St Ft
CovVt St Ft t t
Vt EVt Ft t ESt Ft
von t auf der Menge t uberein
Bemerkung Der vorhersehbare Prozess
t ESu Fu VarSu Fu
wird auch der MeanVarianceTradeoProzess von S
ist dies wiederum quivalent zu a
VarSt Ft St
i CovT T ST ST FT
yi Ati yi R
gradg VT e
t St dass fr u
Setzen wir nun
dann ist quivalent zu a t T
E Atj St und damit E St Ft
u VT Damit ist genau dann

Vorschau

Vorlesungsskript ,,Stochastische Finanzmathematik”

¨ Christoph Kuhn aktuelle Version: 16. Februar 2011

Dies ist das Skript zu einer einf¨hrenden, dreist¨ndigen Vorlesung in Finanzmathemau u tik, die ich im Sommersemester 2003 am Fachbereich Mathematik der Goethe-Universit¨t a Frankfurt gehalten habe. iel war es, den Teilnehmer grundlegende Begriﬀe, usammenh¨nge und Methoden aus der Finanzmathematik n¨herzubringen, wie z.B. selbsta a ﬁnanzierende Handelsstrategien, Arbitragem¨glichkeit, Num´raire, Martingalmaße, Foro e wards, Optionen, Superhedging, Risikominimierung. Der Schwerpunkt lag dabei auf der Bewertung und (teilweisen) Absicherung von Derivaten sowie der Portfoliooptimierung. Ich habe mich auf zeitdiskrete Modelle beschr¨nkt, was den Vorteil hat, dass man a schon in einer einf¨hrenden Vorlesung bis zu aktuellen Forschungsproblemen vorstoßen u kann. Folge ist zudem, dass der vollst¨ndige Markt, der sich durch eindeutige arbitragefreie a Derivatepreise auszeichnet, sich schnell als sehr eingeschr¨nkter Spezialfall entpuppt, und a der unvollst¨ndige Markt zum Regelfall wird. a Aufgrund der K¨rze der eit mussten nat¨rlich einige Kompromisse gemacht werden. u u Es wurde deshalb bewusst nur der Aktienmarkt behandelt und zum Beispiel der Bondmarkt (,, insstrukturkurven”) außen vor gelassen. Dieser wird in einer sp¨teren Vorlesung a im Rahmen zeitstetiger Modelle behandelt werden. Auch das Thema Risikomaße ist Gegenstand eines sp¨teren Seminars. a Neben einigen anderen Einﬂ¨ssen h¨lt sich das Skript phasenweise sehr eng an Kallu a sen [9] und F¨llmer und Schied [4]. Bei Philipp Hornung m¨chte ich mich f¨r das o o u Korrekturlesen bedanken. Dies ist eine erste Version des Skriptes. Daher bin ich f¨r u weitere Fehlerkorrekturen und Verbesserungsvorschl¨ge sehr dankbar. a

1 INHALTSVER EICHNIS

Inhaltsverzeichnis

0 Grundlagen 0.1 Bedingter Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 8

1 Modellierung arbitragefreier Finanzm¨rkte a 1.1

Ausﬂug in eine Welt mit unendlich vielen Wertpapieren . . . . . . . . . . . 22 24 37

2 Derivatebewertung und Hedging 3 Portfoliooptimierung 3.1 3.2 3.3

Mittelwert-Varianz-Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Einschub: Lokalisierung und Maßwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Erwartungsnutzenoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 eitlich homogenes Marktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 wischenzeitlicherer Konsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Logarithmische Nutzenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Existenz einer optimalen Strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 68 75 77

4 Risikomaße 5 Neutrale Derivatebewertung 6 Amerikanische Optionen 6.1 6.2 6.3 6.4

Amerikanische Optionen in vollst¨ndigen M¨rkten . . . . . . . . . . . . . . 81 a a Amerikanische Optionen in unvollst¨ndigen M¨rkten . . . . . . . . . . . . 86 a a Optimale Aus¨bung einer amerikanischen Option . . . . . . . . . . . . . . 90 u ∆-Hedging f¨r amerikanische Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 u 93 101 110

7 Superhedging 8 Minimierung des Hedging-Fehlers in unvollst¨ndigen M¨rkten a a A Anhang

0 GRUNDLAGEN

Grundlagen

Ein Tripel (Ω, F, P ) nennen wir einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω: “beliebige” Menge, ω ∈ Ω nennen wir ein Ergebnis F: Mengensystem bestehend aus Teilmengen von Ω, d.h. F ⊂ 2Ω , wobei 2Ω die Potenzmenge von Ω bezeichnet. A ∈ F nennen wir ein Ereignis. F soll zudem eine σ-Algebra sein, d.h. folgende Eigenschaften besitzen (i) Ω ∈ F (ii) A ∈ F =⇒ Ac := Ω A ∈ F (iii) A1 , A2 , . . . ∈ F =⇒

∞ n=1

An ∈ F

(iv) Wahrscheinlichkeitsmaß P : F → [0, 1], P (Ω) = 1, σ-additiv, d.h. f¨r jede Folge von u disjunkten Ereignissen (An )n∈N ⊂ F gilt P (

∞ n=1

An ) =

∞ n=1

P (An ).

Interpretation: F = {A ⊂ Ω | A ist beobachtbares Ereignis}. Ein ﬁltrierter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) zusammen mit einer Filtrierung F = (Ft )t∈T . In dieser Vorlesung ist die eit diskret, d.h. T = {0, 1, . . . , T }. F ist eine Familie von Teil-σ-Algebren mit F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ FT ⊂ F Interpretation: F beschreibt den Informationsverlauf. Ft steht f¨r die Information, die u wir zum eitpunkt t haben. A ∈ Ft bedeutet, dass zum eitpunkt t bekannt ist, ob das Ereignis A eingetreten ist oder nicht (d.h. es ist bekannt, ob ω ∈ A oder ω ∈ A). Wir setzen voraus, dass F0 = {∅, Ω} (“triviale σ-Algebra”, keine Information) und FT = F. u Beispiel 0.1 (T -facher M¨nzwurf). Ω = {0, 1}T , F = 2Ω .

t Ft = {A ∈ 2Ω | A = A1 × {0, 1}T −t f¨r ein A1 ∈ 2({0,1} ) } u t (2({0,1} ) symbolisiert die Potenzmenge der Menge {0, 1}t ).

F¨r T = 2 und t = 1 bedeutet dies u F1 = ∅, {(0, 0), (0, 1)}, {(1, 0), (1, 1)}, {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} .