Stochastische Prozesse in der Zeitreihenanalyse

Stochastische Prozesse in der eitreihenanalyse

Mike H¨ftle u 31. Juli 2006

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1.1 Stochastische Prozesse und eitreihenanalyse . . . . . . . . . . . 1.2 eitreihenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Beschreibung von stochstischen Prozessen 2.1 Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Nebenpfad: Definition des stochastischen Prozesses 2.2 Stetige und diskrete stochastische Prozesse . . . . . . . . 2.3 Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Nebenpfad: Parameter stochastischer Prozesse . . 2.4 Station¨re Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.5 Lineare stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Autoregressive Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Nebenpfad: ARMA-Prozesse . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Nebenpfad: ARIMA-Prozesse . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Nebenpfad: Saisonale ARMA-Prozesse . . . . . . . 3 ¨hlprozesse, Markov-Ketten und Markov-Prozesse a 3.1 ¨hlprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.2 Poissonprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Nebenpfad: Homogenit¨t, Ordin¨r, Nachwirkung a a 3.3 Markov-Ketten I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Nebenpfad: Markov-Ketten . . . . . . . . . . . . 3.4 Markov-Ketten II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Markov-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Wiener-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 4 4 5 6 6 8 9 10 10 10 11 12 12 13 13 14 14 16 17 18 19 19 20 20 22

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4 Anpassung stochastischer Prozesse 4.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Box-Jenkins-Ansatz zur Anpassung von ARIMA-Prozessen 4.2.1 Nebenpfad: Sch¨tzung des Modells . . . . . . . . . . a ¨ 4.3 Tests zur Uberpr¨fung der Modellg¨te . . . . . . . . . . . . u u

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5 Literatur 5.1 Literatur zu stochastischen Prozessen

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1.1

eitreihen und stochastische Prozesse

Einleitung

Stochastische Prozesse und eitreihenanalyse

Stochastische Prozesse dienen der Modellierung und Analyse von ufallsmechanismen und zuf¨lligen usammenh¨ngen, insbesondere in der eitreia a henanalyse, der Bedienungs-, Lagerhaltungs- und uverl¨ssigkeitstheorie ([], a S.87).

Eine eitreihe im eigentlichen Sinne ist eine endliche Realisierung eines stochastischen Prozesses. Somit liegt jeder eitreihe ein stochastischer Prozess zu Grunde. Mit ihm k¨nnen uber die konkrete eitreihe hinaus Aussagen uber o ¨ ¨ die zeitabh¨ngigen zuf¨lligen Merkmale gemacht werden. a a

eit

¨ In vielen eitreihen, insbesondere in der Okonomie, ist der Parameter eit eine endliche, diskrete Menge von ¨quidistanten eitpunkten. Diese eitpunkte a werden in der Regel durchnummeriert mit t=1,2,…k. Jedoch sind die meisten Methoden der eitreihenanalyse auch auf den Fall ubert¨ ragbar, dass die Beobachtungen unregelm¨ßig durchgef¨hrt wurden. a u Liegen stetige Messungen vor, wie beispielsweise in der Physik oder der Medizin, so wird f¨r die Analyse h¨ufig eine Diskretisierung durchgef¨hrt. u a u

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