Tensorrechnung und Riemannsche Geometrie

• Titel: Tensorrechnung und Riemannsche Geometrie
• Organisation: UNI HEIDELBERG
• Seitenzahl: 203

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Inhalt

• Tensorrechnung und Riemannsche Geometrie
• Entsprechend ergibt sich die Formel M ei
• Formen und Felder
• C U Linearit t a
• T E U E U
• Zusammenh nge a
• dxi i schreiben wir also kurz
• C U T EndE
• Vektorfelder als Differentialoperatoren
• durch die Formel
• T EU MMM MMM MMM MM
• Y f f
• Denition Die Abweichung R Y R Y
• oder ausf hrlicher u
• Aquivalent sind die Gleichungen
• Zusammenh nge auf dem Tangentialbundel a
• Y ist antisym
• Metrische Zusammenh nge a
• gij xdxi dxj C U T T
• i xgij xY j x
• u metrisch bez glich g ist
• Der LeviCivita Zusammenhang
• Also etwa R y
• F r Zusammenh nge u a
• Ei U T Ei U deniert
• E E E idE idE i i i
• i T U OO T i U
• T i U mit der Cartanableitung d
• i fI dxi dxI
• Zur Bedeutung der Faktoren I siehe auch Paragraph
• Krummung und kovariante Ableitung
• ein beliebiger ZusammenE E
• dxi dxj Rij E idE
• dxij Rij E torsionsfrei ist
• Beweis Der Term Alt
• RE Alt idT
• Pullback von Tensoren
• df i x i f x dxj dxj
• Pullback von Zusammenh ngen a
• dy i E i f x dxj
• j xf j und
• f j Beachte j
• j f i x i f T V
• einen tangentiellen Zusammenhang
• torsionsfrei dann auch
• i h k I x Vi Vj Vk
• Zusammenh nge auf Vektorbundeln a
• T EU T EU T EU O
• ei dx ei ei O dy ei
• sx x s f x
• dy x x x x f x dx
• Vektorbundel auf R
• C M x ist frei
• Kapitel Die lineare Gruppe
• Darstellungen und Gewichte
• bei t s von
• exp texpY sexp t exp t expY s exp t
• Die Algebra U
• H chstgewichte o
• ti t ij w tj
• Der Casimir Operator
• ni N ini
• Die H hengraduierung o
• W N W G W W
• Wird sp ter nicht substantiell benutzt a
• xj T ej ejk i
• Die Tensoralgebra T V
• v V k v V l
• T S r V S rM V
• Die Zerlegung des Tensorprodukts
• als Summand vorkommt W
• k V Es folgt
• OOO OOO OOO OO
• o ooo ooo o wooo
• qqq qqq q xqqq MMM MMM MMM
• OOO OOO OOO O
• qqq qqq q xqqq
• Das Diagram zeigt den Ordnungsverband der Relation
• Die symmetrische Gruppe
• Der Satz von Weyl
• Satz Weyl V r
• B PM A D QM E B D
• Appendix Kovariante Ableitungen
• T M T M T M
• Kapitel Formale Normalkoordinaten
• xj gji x xi
• Hierbei sei xi
• xj gji Aquivalent ist
• xj gji x f r alle r u
• sinst t Ot
• Beweis von Satz
• g g g
• f r die totale Ableitung d u
• Der Raum RrV
• Insbesondere dimR V
• Rr V V V S r V
• mit V S r V Also
• Rr V KernAlt KernSymr
• R V V V V V
• Kapitel Riemannsche Geometrie
• Kurvenl nge a
• Exponentialabbildung siehe Korollar
• k t i t j t ij
• In Koordinaten ausgeschrieben bedeutet letzteres
• oder f r u
• k t i t j t ij
• Geod tische Normalkoordinaten a
• xi xj k x ij
• Wir behaupten dann I Linearit t a
• xi xj gi j x
• xi xi Letzteres nach
• xj gji x also
• i E E xj xj x i
• Die L nge in Polarkoordinaten a
• xj gi x xi xj xj xi
• Strikte Injektivit t a
• Durch ein Uberdeckungsargument folgt daraus
• Vollst ndigkeit a
• Der Satz von HopfRinow
• Lokale Konvexit t a
• Appendix Indenite Metriken
• Kapitel Algebraische Eigenschaften der Krummung
• Das KulkarniNomizu Produkt
• oder allgemeiner durch Polarisierung auch g
• g v v v v erkl rt a
• Appendix Tensoren der Stufe
• A S V S V V V
• Rijkl xi xk x
• Der Krummungstensor II
• Kapitel Geometrische Bedeutung der Krummung
• f r alle u v u
• Die hyperbolische Ebene
• r y arcsin yr y
• Dies zeigt die Behauptung
• x y y y x x y
• Hyper chen a
• x y x y f x y
• x xy xy y
• Die Kugel vom Radius R
• Die zweite Fundamentalform
• Die MainardiCodazzi und Gaussgleichungen
• Kapitel Die Transportgleichungen
• N id N N id N
•  N N und g ist symmetrisch tN t
• e Karte kanonisch
• f exp o exp UV Q P
• Die Transport Matrizen
• T M I Das heisst
• Paralleltransport in Normalkoordinaten
• Nt f gt TMQ
• xi l g Eglk ik
• xl l gik gik Egik ik
• N RN EndRN
• f t t M T M t
• Wir identizieren T RN t RN
• RT S auf I Also
• bei s im allgemeinen nicht
• P t t t t
• RM T T M t ist symmetrisch in
• Der verallgemeinerte Cotangens
• c ct muss nicht konstant sein
• R ume mit konstanter Krummung a
• Der Konvexit tsradius a
• Dann gilt nach Abschnitt Satz d t dt
• fP expP x x xx
• gilt fP expP x T rx
• Die Singularit ten von a
• Konvexit tspunkte a
• t oder dlog t
• In diesem Fall ist daher
• Die ersten beiden Variationen
• d d Es ds ds
• T S T I S T S T
• T S T T S T
• Beweis Beachte S T
• dt f r alle t u
• d d Es s ds ds
• L nge versus Energie a
• d d ds N ds N dt N
• d d Ns Ns dt ds ds
• T b a b a
• d Es s ds ds
• Beispiel f r nicht konjugierte Punkte u
• Beispiel f r konjugierte Punkte u
• Charakterisierung der Minimalkurven
• Der Satz von Klingenberg
• Geschlossene Geod ten a
• f Q u t t u t
• Kapitel Vergleichss tze a
• Asymptotik von Jacobifeldern
• Insbesondere wegen CauchySchwarz d dt RT T
• d d Dies zeigt dt dt T t
• Satz von Rauch
• und damit gilt auch
• M wobei f expP eine lokale Isometrie ist
• Kapitel R ume mit negativer Krummung a
• Appendix Eine Verallgemeinerung
• f E f i f E
• linear ist ist daher auch
• Appendix Die Riccati Differentialgleichung
• Er t t EN r F t k
• f r eine glatte matrixwertige Funktion u Gt
• Er Gt t t EN r
• Sr eine glatte Funktion
• Appendix Formeln auf Geod ten a
• d gkl l t t dt gk t
• g t g t t g t g
• f r i M i sowie u
• M und somit t parallel t konstant
• gN N N N
• oder N gN N gN

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