Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeiten

• Titel: Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeiten
• Organisation: UNI FRANKFURT
• Seitenzahl: 202

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Inhalt

• Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeiten
• Eine elementare Einfuhrung in die Stochastik
• Prof Dr Gotz Kersting
• c Gtz Kersting o
• MarkovKetten Grundlegende Eigenschaften i
• Kapitel Elementare Anstze a
• Dieser Ausdruck heißt Multinomialkoezient n x xk
• e e e Y e e
• Binomial Poisson und Hypergeometrische Verteilung
• n x nx p q x
• n x nx p q p qn x
• mit dem binomischen
• Der Erwartungswert E einer Pverteilten Zufallsvariablen ist
• x Ws x e
• tr nx nr t t n
• x Ws x np
• d du u u
• x Ws x pq
• pi Dann heißt ein
• Zufallsvariable mit Dichten Normalapproximation der Binomialverteilung
• an Ws n n a qn
• x np rx n p npq
• n E n Var n
• x np npq
• Anwendungen der Normalapproximation
• a pu p n
• a po p n
• Insgesamt enthlt S a
• Mit Formel folgt vn
• b t b b
• Diese Formel ist zu quivalent a
• Kapitel Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeiten
• Diskrete Zufallsvariable und Ereignisse
• Bc B c
• Messbare Rume und Abbildungen a
• x xn B x n xn A
• Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhngigkeit a
• lim WsAn WsA
• Dabei benutzen wir die Notation
• A A A
• lim WsAn lim
• Ws x n xn pn xn
• pm xm wie die Wahl Bi Si
• und aus der Verteilungsannahme folgt
• n F xj F xnj j
• WsU xWs x px r Dies
• Entsprechend folgt WsA A
• Uniformitt von U ergibt a
• Die Lemmata von BorelCantelli
• Satz Erstes BorelCantelliLemma Aus Wslim supn An
• Wslim sup An Ws
• falls log p falls log p
• n log n log p
• px xk dx dxk
• Ws a b k ak bk
• du duk S
• WsU Uk B B S
• kWsU Uk B Beispiel Normalverteilte Zufallsvariable
• ezi k exp z
• p z up u dzdu
• p z up u du dz
• p z up u du
• p p z c c cz
• u eu z u ezu du e
• k etk dt dtk k e
• Kapitel Erwartungswert und Varianz
• x xn Ws x n xn
• Sie folgt aus
• x Ws x Y y y WsY y
• y Ws x Y y
• fr den Erwartungswert gilt daher u
• E n n n
• n n ln n On
• falls xi N und sonst
• WsAi Aj WsA An
• IAi IAj IAi Aj
• zum Erwartungswert uber
• x E Ws x
• x E y EY Ws x Y y
• tx Ws x Et
• xx x k txk Ws x
• xx x k Ws x
• Damit erhlt man E p Var qp a
• tqj r r p p r qj kj
• r y bj qj tyr y j
• p pr q x pk pj j kj
• Gesetze der großen Zahlen und die TschebyschevUngleichung
• n n
• gilt die Markov
• woraus die Behauptung folgt
• Yn Yn E pq n n
• n x t tnx x
• geeignet sind Die Formel fn t Ef n
• und nach Satz folgt Ws Kn
• y n Yn Ws n
• n n
• fr viele n u
• E i j k l
• und damit die Behauptung
• Der Satz von der monotonen Konvergenz
• x Ws x Ws
• xi Ws xi n E
• E lim EYn limE E n
• Kapitel Folgen von Zufallsentscheidungen und bedingte Wahrscheinlichkeiten
• Ein Beispiel Suchen in Listen
• Der gesuchte Erwartungswert ist
• WsAn A fr paarweise disjunkte Ereigu
• WsA x Ws x
• Der Beweis folgt aus WsA WsA S
• WsA Ax WsAx
• Ws xWsA x WsA
• Das Urnenmodell von Plya o
• x z zn y nx
• Eine zweistuge Zerlegung austauschbarer Zufallsvariabler
• WsZ z Zn zn
• Die Summe enthlt a daher folgt
• mit x z zn
• x z zn
• WsZ z Zn zn U p dp
• Ay Ax folgt Pxy
• Ws t s t und es folgt
• E Y y WsY y
• Beweis Nach Satz gilt x Ws x
• E Y y WsY y
• Var Y y WsY y
• Beweis Nach Proposition gilt E
• E Y y WsY y
• b E KK T E KKK
• Die Gewinnwahrscheinlichkeit von B ist
• Pxy fr alle x S u
• n Pxy Wsx n y
• Wsx n y Wsx nm z n y
• Wsx n y Wsy m z
• Trewahrscheinlichkeiten und erwartete Eintrittszeiten
• q a p q a p
• bzw w w mit der erzeugenden Funktion
• Es gilt mit
• m Wsx M m Wsx M
• l Wsy M l Wsy M ey
• Wsx y Ex M y
• falls y x sonst
• Rekurrenz und Transienz
• Ws l x l x
• folgt nun die Behauptung nach Satz
• Wsx n x Ex Cx
• falls x y sonst
• n dn n n n d nd
• fr alle x S u
• n y Pyx x y
• t WsTx t WsTx
• Ahnlich gilt nach Satz
• Pyz Ez minTx l
• Insbesondere ergibt sich fr l u Ey Tx
• z Ez minTx l
• Der Grenzbergang l gibt Wsx Tx und u
• also die Behauptung
• Die Annahme x wrde nmlich u a
• folgen Deswegen gilt x
• px x E T E T
• Pxy Ey minT l x x y
• y n y y Pyx
• x x y n y y Pyx y
• falls x und y benachbart sind sonst
• falls y x falls y x
• Konvergenz ins Gleichgewicht
• y Py y Pym ym
• Pxy x minx Qxy y Qyx min Qxy
• mit y und folglich
• Ws Y y Yk yk
• Pyi Pyi yi P py pyk
• Ws nk nk m
• WsLn k Gn m WsGn m
• die aus WsRn l Ws n l l folgt
• Kapitel Die Normalverteilung
• Standard normalverteilte Zufallsvektoren
• Ein exaktes Kondenzintervall
• zu betrachten mit
• Zi Z Z Zn
• Y Z Zn
• y e dy n n
• x x dx Y y gn y dy
• fr n fs gegen EZ u
• T q L L
• ni i ij i
• Der zentrale Grenzwertsatz
• E ni ni i
• ESn Sn Var
• ni I ni ESn ESn
• E ni ni ESn ESn
• n E ni ni E i
• n n z expz dz EZ
• ESni ESni ESni ESni
• EYni ni ni EZ
• Ws ni EZ max ni
• i Cov i j j Var
• Dann gilt Cov i j
• aik ajl CovZk Zl
• aik CovZk Zl at lj
• Kapitel Entropie und Information
• H Y y WsY y
• qxy Ws xWsY y
• Ws x Y y log
• Ws x Y y Ws xWsY y
• H Y D Die Behauptung folgt also aus
• durch Das folgende Schema enthlt die Reduktionsschritte a
• f f f f f
• Als Kodebaum erhalten wir
• px log qx H D H
• log px px H
• px log qx H D
• Blockweises Kodieren von Nachrichten
• lim n H n
• H m m
• Simulation durch Munzwurf
• tb log tb Es
• HY x Ws x
• und die durchschnittliche Fehlerwahrscheinlichkeit als k d m
• Elemente in By
• gelten Dies ist die Behauptung
• HY xWs x
• p z p q

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